何を近似したか・何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第5章 §5.6　★★ 近軸近似・鏡を無限に広いとすること・損失を一様に均すことの3つ。測る量は透過のスペクトル・リングダウンの時間・ビームの太さ

置いた近似

1つ目は近軸近似である。光線の行列もガウスビームも、光線の傾きとビームの広がり角 $\lambda/(\pi w_0)$ が小さく、鏡の面を球面の2次の近似（放物面）で置き換えてよいとした。例題 5.3 の共振器では広がり角は $9\times10^{-4}\,\mathrm{rad}$ の桁で、近軸の誤差はその2乗の桁である。この近似の先の項は第3章の収差と同じ形をしており、強く集光する短い共振器では共鳴周波数の小さなずれとして現れる。

2つ目は、鏡を横に無限に広いとして、鏡の縁からはみ出す光を無視したことである。実際の鏡の半径を $a$ とすると、半径の外にはみ出す基本モードの強度の割合は $\mathrm{e}^{-2a^2/w_{\mathrm m}^2}$ で、周回ごとにこれだけの光が失われ（回折損失）、さらに縁で切られたビームはもうガウスビームでない。鏡の大きさの目安は Fresnel 数 $N_{\mathrm F}=a^2/(\lambda L)$ で、$N_{\mathrm F}$ が $1$ より十分大きければ回折損失は小さい。有限の大きさの鏡のモードは、鏡の上の分布を Fresnel の回折積分で1周させる操作を繰り返し、形が変わらなくなる分布として数値で求めることができ、Fox と Li はこの方法で、どの初期の分布から始めても数百周で一定の形と一定の損失に落ち着くことを示した（A. G. Fox and T. Li (1961), Bell Syst. Tech. J. 40, 453）。

3つ目は、5.5節で、周回ごとのとびとびの損失を時間について一様な減衰に均し、共鳴の形を Airy 関数から Lorentz 形に置き換えたことである。小さいパラメータは1周の時間と寿命の比 $t_{\mathrm{rt}}/\tau_{\mathrm c}\approx\eta_{\mathrm{rt}}$ で、共鳴の山の近くでは2つの形の差はこの比の1次の桁にとどまる。とびとびの写像を連続の時間の微分方程式に置き換えるこの操作は、速い時間（1周）と遅い時間（寿命）を分けるスケール分離の一例である。

このほか、場の偏光を固定したスカラーの扱いをした。鏡に斜めに当てない2枚の鏡の共振器では、2つの偏光は同じ周波数に縮退したまま独立に扱うことができる。

何の実験の量で確かめるか

共振器の性質を測る量は3つある。1つ目は透過のスペクトルで、鏡の一方を圧電素子で動かして長さ $L$ を少しずつ変えながら透過光を見ると、式 (5.14) の共鳴が山として現れる。山の間隔から $\nu_{\mathrm{FSR}}$、基本モードと高次の横モードの山の間隔から周回の角 $\theta$、つまり $g_1g_2$ を読み取ることができる。山の幅と間隔の比がフィネスである。2つ目はリングダウンの時間で、共鳴している入射光を急に切り、透過光が $\mathrm{e}^{-t/\tau_{\mathrm c}}$ で減る時定数を測る。フィネスが高く線幅が狭すぎて周波数で測りにくい共振器では、こちらのほうが精度よく測ることができる。この方法は、共振器の中に置いた気体の吸収を、寿命の短縮として測る分光法（キャビティリングダウン分光）にも使われる（A. O'Keefe and D. A. G. Deacon (1988), Rev. Sci. Instrum. 59, 2544）。3つ目はビームの太さで、透過光の強度の分布をカメラで撮り、式 (5.11) の $w_{\mathrm m}$ と比べる。

授業で習った形との対応

学部の光学やレーザー工学の授業では、共振器を次の3つの式で習う。

$$0\le g_1g_2\le1,\qquad \nu_{qmn}=\frac{c}{2L}\Bigl[q+(m+n+1)\frac{\arccos(\pm\sqrt{g_1g_2})}{\pi}\Bigr],\qquad \mathcal F=\frac{\pi\sqrt R}{1-R}.$$

ここで $q$ は縦モードの番号、$(m,n)$ は横モードの番号、$R$ は両方の鏡が同じときの強度の反射率である。1つ目は安定条件で、授業では「自分に戻る $q$ パラメータが実でないビーム半径を持つ」条件として導かれることが多い。この章の命題 5.4 の証明がまさにその計算で、定理 5.2 はそれを光線の有界性の言葉で言い直したものである。2つ目はこの章の式 (5.14) と (5.15) で、記号を $q\to\ell$, $(m,n)\to(m,l)$ と読み替えれば同じになる（この章で $q$ を縦モードの番号に使わないのは、複素ビームパラメータ $q$ と紛れるからである）。3つ目はこの章の式 (5.18) の真ん中の近似で、$r_{12}=r_1r_2=R$ と読み替えたものである。授業の教科書は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t-\mathrm{i} kz}$ の流儀で $1/q=1/R-\mathrm{i}\lambda/(\pi w^2)$ と書くことが多く、この章の $1/q$ とは複素共役の関係にある。ABCD 則は実の行列なので両方の流儀で同じ形をとり、$w$ と $R$ の値も一致する。

学部の授業との違いは、Gouy 位相の扱いにある。授業では Gouy 位相 $\arctan(z/z_{\mathrm R})$ を腰からの距離で計算して足し合わせるが、この章では周回行列の固有値の角 $\theta$ として、基準の面の取り方にも共振器の中の素子の数にもよらずに出した。鏡が3枚以上あるリング共振器や、中にレンズを入れた共振器でも、周回行列を掛け算して $\cos\theta=(A+D)/2$ を求めれば、横モードの間隔がそのまま出る。