出てくるもの（1）：横モードとビームの太さ

光学と量子エレクトロニクス　第5章 §5.3　★★★ 周回の ABCD 則で自分に戻る $q$ は、安定な共振器でだけ存在する。そのビームの波面は両方の鏡の面に重なる

借りる道具：ガウスビームと ABCD 則

第4章（第4章）で、近軸の波動方程式 $\nabla_\perp^2u+2\mathrm{i} k\,\partial_zu=0$ の解として、次のガウスビーム（第4章の式 (4.16)）を導いた。この章ではその結果だけを使う。

$$u(\bm{x},z)\propto\frac{1}{q(z)}\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{i} k\lvert \bm{x}\rvert ^2}{2q(z)}\Bigr),\qquad \frac{1}{q}=\frac{1}{R(z)}+\mathrm{i}\frac{2}{kw(z)^2}=\frac{1}{R(z)}+\mathrm{i}\frac{\lambda}{\pi w(z)^2}.\tag{5.7}$$

これは第4章の式 (4.9) と同じ $q$ で、$\lambda$ は媒質の中の波長である。$w(z)$ は強度が中心の $\mathrm{e}^{-2}$ 倍になる半径（ビーム半径）、$R(z)$ は波面の曲率半径である。複素数の $q$ をこの形に取るのは、速い位相を $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kz-\omega t)}$ と書くこの本の流儀による（$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t-\mathrm{i} kz}$ の流儀で書く光学の教科書では $1/q=1/R-\mathrm{i}\lambda/(\pi w^2)$ と、虚部の符号が逆になる）。自由な空間では $q(z)=z-\mathrm{i} z_{\mathrm R}$（$z$ はビームの腰からの距離、$z_{\mathrm R}=\pi w_0^2/\lambda$ は Rayleigh 長、$w_0$ は腰の半径）で、

$$w(z)^2=w_0^2\Bigl(1+\frac{z^2}{z_{\mathrm R}^2}\Bigr),\qquad R(z)=z+\frac{z_{\mathrm R}^2}{z},\qquad \psi_{\mathrm G}(z)=\arctan\frac{z}{z_{\mathrm R}}\tag{5.8}$$

となる。$\psi_{\mathrm G}(z)$ は Gouy 位相で、ガウスビームの位相は $kz-\psi_{\mathrm G}(z)$ である。

第4章のもう1つの結果は、近軸の光学系を通るとき、光線の行列 $\bigl(\begin{smallmatrix}A&B\\mathbb{C}&D\end{smallmatrix}\bigr)$ がそのまま $q$ の変換を決めることである（ABCD 則）。

$$q'=\frac{Aq+B}{Cq+D},\qquad u'=\frac{1}{A+B/q}\cdot(\text{新しい}\ q'\ \text{の形の分布}).\tag{5.9}$$

2つ目の式の前の因子は、光学系を通る前後で場の全体のパワーを保つ規格化と、系を通るあいだに積もる Gouy 位相を合わせたものである。自由な伝搬 $T(d)$ では $1/(1+d/q)=q/(q+d)=q/q'$ となり、その偏角は $-\bigl(\psi_{\mathrm G}(z+d)-\psi_{\mathrm G}(z)\bigr)$ で、式 (5.8) の Gouy 位相の差に一致する。高次の Hermite–Gauss のモード $u_{ml}\propto H_m(\sqrt2x/w)H_l(\sqrt2y/w)\,u$（$H_m$ は Hermite 多項式）は、同じ $q$ で形を保ったまま伝わり、Gouy 位相だけが $(m+l+1)$ 倍になる（第4章の式 (4.24)）。添字 $m$, $l$ は第4章の $u_{ml}$（式 (4.24)）と同じ添字である。

周回で自分に戻る $q$

定義 5.1 のモードをガウスビームの中から探す。周回で形が変わらないためには、ABCD 則 (5.9) で $q$ が自分に戻ればよい。

証明

$q=(Aq+B)/(Cq+D)$ を $1/q$ について書き直すと $B(1/q)^2+(A-D)(1/q)-C=0$ で、解は

$$\frac1q=\frac{D-A\pm\sqrt{(A-D)^2+4BC}}{2B}.$$

$\det M=AD-BC=1$ を使うと $(A-D)^2+4BC=(A+D)^2-4=4(m^2-1)$ なので、根号の中が負になる $\lvert m\rvert <1$ のときに限り $1/q$ は虚部を持ち、$\sqrt{4(m^2-1)}=2\mathrm{i}\sqrt{1-m^2}$ から$1/q=(D-A)/(2B)\pm\mathrm{i}\sqrt{1-m^2}/B$ となる。$\operatorname{Im}(1/q)=\lambda/(\pi w^2)>0$ になる符号を選ぶと式 (5.10) を得る。$\lvert m\rvert \ge1$ では $1/q$ は実数で、$w=\infty$ の平面波の極限しか残らない。$B>0$ のとき $A+B/q=A+(D-A)/2+\mathrm{i}\sqrt{1-m^2}=m+\mathrm{i}\sqrt{1-m^2}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$ である。

光線の言葉の安定条件（定理 5.2）と、波の言葉のモードの存在が、同じ不等式 $\lvert m\rvert <1$ になった。不安定な共振器でも鏡の間に光は残るが、それは鏡の縁で決まる別の種類のモード（鏡の外へ光を出し続ける不安定共振器のモード）で、ガウスビームの形にはならない。

2枚の鏡の共振器のビーム

式 (5.4) を式 (5.10) に入れると、鏡1の上のビーム半径は

$$w_1^2=\frac{\lambda L}{\pi}\sqrt{\frac{g_2}{g_1(1-g_1g_2)}},\qquad w_2^2=\frac{\lambda L}{\pi}\sqrt{\frac{g_1}{g_2(1-g_1g_2)}}\tag{5.11}$$

となる（$w_2$ は添字の 1 と 2 を入れ替えて得る）。基準の面での波面の曲率半径は $\lvert R\rvert =R_1$ で、ビームの波面は鏡1の面にぴったり重なる。同じことを腰の位置から言い直すと、ビームの腰は鏡1から距離

$$z_1=\frac{g_2(1-g_1)L}{g_1+g_2-2g_1g_2},\qquad z_{\mathrm R}^2=\frac{g_1g_2(1-g_1g_2)}{(g_1+g_2-2g_1g_2)^2}\,L^2\tag{5.12}$$

の所にあり（腰が鏡2の側にあるとき $z_1>0$）、腰から鏡1までの距離 $z_1$ と鏡2までの距離 $z_2=L-z_1$ で式 (5.8) の $R(z)$ がそれぞれ $R_1$, $R_2$ に等しい。