当てる道具：Fresnel の伝搬核と $q$ パラメータの ABCD 則

光学と量子エレクトロニクス　第4章 §4.2　★★★ 一様な媒質の伝搬は自由粒子の伝搬関数で書け、ガウス型の解の複素パラメータ $q$ は光線と同じ ABCD 行列の1次分数変換で移る

Fresnel の伝搬核

一様な媒質（屈折率 $n$、$k=nk_0$）の近軸波動方程式 $\nabla_\perp^2u+2\mathrm{i} k\,\partial_zu=0$ は、質量 $m$ の自由粒子の Schrödinger 方程式の $m/\hbar$ を $k$ に置き換えたものである。自由粒子の伝搬関数 $\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar t}\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert ^2/(2\hbar t)}$ を同じ置き換えで写すと、$z=0$ の包絡線から距離 $z$ 先の包絡線が

$$u(\bm{x},z)=\int K(\bm{x},\bm{x}';z)\,u(\bm{x}',0)\,\mathrm{d}^2x',\qquad K(\bm{x},\bm{x}';z)=\frac{k}{2\pi\mathrm{i} z}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i} k\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert ^2}{2z}\Bigr)\tag{4.6}$$

で決まる。$K$ をFresnel の伝搬核と呼ぶ。$K$ の位相 $k\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert ^2/(2z)$ は、点 $\bm{x}'$ から点 $\bm{x}$ までの直線の光路長 $\sqrt{z^2+\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert ^2}$ を2次まで展開した余りに $k$ を掛けたもので、各点から出る球面波を放物面で近似した Huygens の原理の式になっている。回折の一般論は第6章（第6章）で扱い、この章ではガウス型の包絡線に限る。

ガウス型の解と $q$ パラメータ

包絡線を、複素数のパラメータ $q$ を持つガウス関数

$$u(\bm{x},z)=\frac{q(0)}{q(z)}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i} k\lvert \bm{x}\rvert ^2}{2q(z)}\Bigr)\tag{4.7}$$

の形に置いて $\nabla_\perp^2u+2\mathrm{i} k\,\partial_zu=0$ に入れると、$\lvert \bm{x}\rvert ^2$ の係数から $\mathrm{d}(1/q)/\mathrm{d} z=-1/q^2$、つまり

$$q(z)=q(0)+z\tag{4.8}$$

が出て、残りの項から前の因子 $q(0)/q(z)$ が決まる。式 (4.6) の積分を直接実行しても同じ結果になる（verify で数値積分と比べた）。$1/q$ の実部と虚部をそれぞれ

$$\frac{1}{q(z)}=\frac{1}{R(z)}+\mathrm{i}\frac{2}{kw(z)^2}\tag{4.9}$$

と書くと、式 (4.7) の指数は $-\lvert \bm{x}\rvert ^2/w^2+\mathrm{i} k\lvert \bm{x}\rvert ^2/(2R)$ になる。$w(z)$ は振幅が中心の $1/\mathrm{e}$ になる半径（ビームの半径）、$R(z)$ は波面の曲率半径である。$q$ を$q$ パラメータと呼ぶ。$w$ が実数で正であるためには $\operatorname{Im}(1/q)>0$ が要る。この本の流儀（$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ と $\mathrm{e}^{+\mathrm{i} kz}$）では虚部の前の符号が $+$ で、工学流の $\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t}$ を使う教科書とは符号が逆になる（4.6節）。

ABCD 則

第2章の ABCD 行列は、光線の位置 $x$ と運動量 $p=n\sin\theta$（屈折率を掛けた傾き）を組にした $(x,p)$ に掛かる行列で、伝搬は $\bigl(\begin{smallmatrix}1&d/n\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$ だった。式 (4.8) は $q$ が距離 $d$ をそのまま足すことを言うので、$(x,p)$ の行列と合わせるには $q$ を屈折率で割った

$$\bar q\coloneqq\frac{q}{n},\qquad u\propto\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i} k_0\lvert \bm{x}\rvert ^2}{2\bar q}\Bigr)\tag{4.10}$$

を使う（この章では換算した $q$ と呼ぶ。第2章の換算距離 $d/n$ と同じ考え方）。伝搬で $\bar q\to\bar q+d/n$ である。

証明

第2章の近軸の系は、伝搬 $\bigl(\begin{smallmatrix}1&d/n\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$ と、屈折力 $\Phi$ の薄い要素 $\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\-\Phi&1\end{smallmatrix}\bigr)$（薄いレンズ・球面での屈折・凹面鏡）の積で書ける。伝搬は式 (4.8) と前の因子 $\bar q_1/(\bar q_1+d/n)=1/(1+B/\bar q_1)$ で、式 (4.11) の形をしている。薄い要素は、光軸から高さ $\lvert \bm{x}\rvert$ の所の光路長を $-\Phi\lvert \bm{x}\rvert ^2/2$ だけ変える（中心の厚い凸レンズで縁の光路が短い）ので、包絡線に $\exp(-\mathrm{i} k_0\Phi\lvert \bm{x}\rvert ^2/2)$ を掛ける。これは $1/\bar q\to1/\bar q-\Phi$ で、$(A\bar q+B)/(C\bar q+D)$ に $A=D=1$, $B=0$, $C=-\Phi$ を入れたものと同じであり、前の因子は $1$ である。1次分数変換 $\bar q\mapsto(A\bar q+B)/(C\bar q+D)$ を2つ続けたものは、行列の積の1次分数変換になる。前の因子 $\bar q/(A\bar q+B)$ も、続けて掛けると積の行列の因子になる（verify で記号計算した）。したがって要素の積で書けるどの系でも式 (4.11) が成り立つ。虚部の式は$1/\bar q_2=(C\bar q_1+D)(A\bar q_1^*+B)/\lvert A\bar q_1+B\rvert ^2$ の虚部が $(BC-AD)\operatorname{Im}\bar q_1/\lvert A\bar q_1+B\rvert ^2=-\operatorname{Im}\bar q_1/\lvert A\bar q_1+B\rvert ^2$ であることと、$\operatorname{Im}(1/\bar q_1)=-\operatorname{Im}\bar q_1/\lvert \bar q_1\rvert ^2$ から出る。

光線の行列が波の $q$ をそのまま変換することは、次のように読める。近軸の光線は $H_2$ の Hamilton 方程式に従い、近軸の波は $H_2$ を量子化した Schrödinger 方程式に従う。$H_2$ が2次式のとき、量子力学の Heisenberg の運動方程式 $\mathrm{d}\hat x/\mathrm{d} z=\left[\hat x,\,\hat H_2\right]/(\mathrm{i}/k_0)$ は古典の Hamilton 方程式と同じ線形の式になり、演算子 $(\hat x,\hat p)$ も光線と同じ行列で変換される。2次の Hamiltonian では、量子の時間発展が古典の線形の正準変換で完全に決まる。ガウス型の波がガウス型のまま進むのはこのためで、行列式 $1$（シンプレクティック）であることが幅を実数に保つ。

複素光線

ABCD 則には、光線の言葉の読み方がもう1つある。$\bar q=x_{\mathrm c}/p_{\mathrm c}$ と、複素数の組 $(x_{\mathrm c},p_{\mathrm c})$ の比に書き、この組を光線と同じ行列で$(x_{\mathrm c},p_{\mathrm c})\to(Ax_{\mathrm c}+Bp_{\mathrm c},\,Cx_{\mathrm c}+Dp_{\mathrm c})$ と動かせば、比は式 (4.11) のとおりに変わる。$(x_{\mathrm c},p_{\mathrm c})$ を複素光線と呼ぶ（この章の呼び名）。複素光線とその複素共役の組に、第2章の Lagrange の不変量 $\mathcal I(a,b)=x_ap_b-x_bp_a$（第2章）を当てると

$$\mathcal I(\mathrm c,\mathrm c^*)=x_{\mathrm c}p_{\mathrm c}^*-x_{\mathrm c}^*p_{\mathrm c}=-2\mathrm{i}\,\operatorname{Im}(p_{\mathrm c}x_{\mathrm c}^*)$$

で、これは行列式 $1$ の行列で保存する。一方 $\operatorname{Im}(1/\bar q)=\operatorname{Im}(p_{\mathrm c}x_{\mathrm c}^*)/\lvert x_{\mathrm c}\rvert ^2$ で、式 (4.9) と $k/q=k_0/\bar q$ から $\operatorname{Im}(1/\bar q)=2/(k_0w^2)$ なので

$$w^2=\frac{2}{k_0}\frac{\lvert x_{\mathrm c}\rvert ^2}{\operatorname{Im}(p_{\mathrm c}x_{\mathrm c}^*)} .\tag{4.12}$$

分母は不変量なので、複素光線の規格を $\operatorname{Im}(p_{\mathrm c}x_{\mathrm c}^*)=2/k_0$ に選べば、ビームの半径は複素光線の大きさ $w=\lvert x_{\mathrm c}\rvert$ そのものになる。

くびれ（$R=\infty$ の所）で半径 $w_0$ のビームは、$\bar q=-\mathrm{i} k_0w_0^2/2$ なので、この規格で $x_{\mathrm c}=w_0$, $p_{\mathrm c}=\mathrm{i}\,\lambda_0/(\pi w_0)$ と選べる。実部と虚部はどちらも実際の光線で、1本目は高さ $w_0$ で光軸に平行な光線、2本目は光軸から運動量 $p=\lambda_0/(\pi w_0)$ で出る光線である。系を通った後の半径は、この2本の実の光線の高さ $x_1$, $x_2$ の2乗和の平方根

$$w^2=x_1^2+x_2^2=A^2w_0^2+B^2\Bigl(\frac{\lambda_0}{\pi w_0}\Bigr)^2\tag{4.13}$$

になる。2本の光線の Lagrange の不変量は $\mathcal I(1,2)=w_0\cdot\lambda_0/(\pi w_0)=\lambda_0/\pi$ で、ビームの太さと広がりの積は波長だけで決まる。