出てくるもの（1）：2次の $L$ は古典の作用と揺らぎの行列式で決まる

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第8章 §4.8.3　★★★ 経路を古典の経路と揺らぎに分けると、2次の $L$ では作用が $S_{\mathrm{cl}}+S[y]$ に厳密に分かれ、核は $F(T)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ になる。調和振動子の $F(T)$ は揺らぎの行列式 $\sin\omega T/\omega T$ で決まり、共役点で発散する

古典の経路のまわりに展開する

経路積分の変数を、古典の経路 $q_{\mathrm{cl}}(t)$（端の条件 $q_{\mathrm{cl}}(0)=q_i$、$q_{\mathrm{cl}}(T)=q_f$ を満たす Euler–Lagrange 方程式の解）と、そこからのずれ $y(t)$ に分ける。

$$q(t)=q_{\mathrm{cl}}(t)+y(t),\qquad y(0)=y(T)=0.$$

$y$ の端は 0 に固定される。作用を $y$ で展開すると、1次の項は第1変分 $\delta S$ で、$q_{\mathrm{cl}}$ が Euler–Lagrange 方程式を満たし $y$ の端が 0 なので消える（第1部第4章）。$L$ が $q$ と $\dot q$ の2次式なら、展開は2次で終わる。調和振動子 $L=\frac m2\dot q^2-\frac m2\omega^2q^2$ では

$$S[q_{\mathrm{cl}}+y]=S_{\mathrm{cl}}+S[y],\qquad S[y]=\int_0^T\Bigl(\frac m2\dot y^2-\frac m2\omega^2y^2\Bigr)\mathrm{d} t\tag{4.8.18}$$

と厳密に分かれる。$S[y]$ は $q_i$, $q_f$ によらない。経路積分の変数を $q_k$ から $y_k=q_k-q_{\mathrm{cl}}(t_k)$ に取り替えても積分の測度は変わらない（平行移動なので Jacobian は 1）ので、

$$K(q_f,q_i;T)=F(T)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}(q_f,q_i;T)/\hbar},\qquad F(T)=\int_{y(0)=0}^{y(T)=0}\mathcal Dy\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[y]/\hbar}\tag{4.8.19}$$

を得る。$q_f$, $q_i$ への依存は全部 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ に入り、揺らぎの積分 $F(T)$ は時間 $T$ だけの関数になる。自由粒子の式 (4.8.8) は $F(T)=\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar T)}$ の場合である。

調和振動子の古典の作用

調和振動子の古典の経路 $q_{\mathrm{cl}}(t)=[q_i\sin\omega(T-t)+q_f\sin\omega t]/\sin\omega T$（$\sin\omega T\neq0$）とその作用は第1部第5章の式 (1.5.8) で求めてあり、端の記号を $q_{\mathrm a}\to q_i$, $q_{\mathrm b}\to q_f$ と読み替えると

$$S_{\mathrm{cl}}(q_f,q_i;T)=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\Bigl[(q_f^2+q_i^2)\cos\omega T-2q_fq_i\Bigr]\tag{4.8.20}$$

となる。$\omega\to0$ で $\cos\omega T\to1$、$\sin\omega T\to\omega T$ とすると $m(q_f-q_i)^2/(2T)$ に戻る。また $-\partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial q_f\partial q_i=m\omega/\sin\omega T$ である。

揺らぎの積分

$F(T)$ を求めるには、自由粒子との比を取ると前因子の発散が打ち消し合って扱いやすい。$y$ を端で 0 になる正弦関数で展開する。

$$y(t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\sin\frac{n\pi t}{T}.$$

異なる $n$ の正弦関数は $[0,T]$ で直交するので、

$$S[y]=\sum_{n=1}^\infty\frac{mT}{4}\Bigl[\Bigl(\frac{n\pi}{T}\Bigr)^2-\omega^2\Bigr]a_n^2\tag{4.8.21}$$

と、モードごとの2次式の和になる（$\int_0^T\sin^2(n\pi t/T)\,\mathrm{d} t=T/2$ を使った）。経路積分の変数を $q_1,\dots,q_{N-1}$ から $a_1,\dots,a_{N-1}$ に線型に取り替えると Jacobian が出るが、それは $\omega$ によらないので自由粒子との比では消える。各 $a_n$ の積分は Fresnel 積分 (4.8.7) で、その大きさは係数の平方根に反比例する。$\omega T<\pi$ ならすべての係数が正で、位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$ は自由粒子と共通なので比では消える。したがって

$$\frac{F(T)}{F_0(T)}=\prod_{n=1}^\infty\Bigl[1-\Bigl(\frac{\omega T}{n\pi}\Bigr)^2\Bigr]^{-1/2}=\sqrt{\frac{\omega T}{\sin\omega T}}\tag{4.8.22}$$

を得る。最後の等号は Euler の無限積 $\sin x=x\prod_{n\ge1}(1-x^2/n^2\pi^2)$ である。$F_0=\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar T)}$ を掛けて、調和振動子の核

$$K(q_f,q_i;T)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\mathrm{i}\hbar\sin\omega T}}\,\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_{\mathrm{cl}}(q_f,q_i;T)\Bigr]\qquad(0<\omega T<\pi)\tag{4.8.23}$$

を得る。前因子は $\sqrt{(-\partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial q_f\partial q_i)/(2\pi\mathrm{i}\hbar)}$ に等しく、自由粒子の式 (4.8.10) と同じ形をしている。2次の $L$ では、核は古典の作用 $S_{\mathrm{cl}}$ という1つの関数から厳密に決まる。この式が Schrödinger 方程式を満たすことは直接の微分で確かめられる（verify_ch4-08.py）。

揺らぎの行列式と共役点

式 (4.8.22) の右辺は $\omega T\to\pi$ で発散する。$n=1$ のモードの係数 $(\pi/T)^2-\omega^2$ が 0 になり、そのモードの方向に作用が平らになるからである。第1部第3章・第5章では、調和振動子の作用の2次の変分が、区間の長さが $\pi/\omega$ を超えると正でなくなり、古典の経路が最小点から鞍点に変わることを見た（第1部第3章・第1部第5章）。$\omega T=\pi$ は、$q_i$ を出たすべての古典の経路が初速によらず $-q_i$ に集まる時刻で、共役点（焦点）と呼んだ。経路積分では、共役点で揺らぎの積分が発散し、核の前因子が無限大になる。

有限の $N$ でも同じことが見える。式 (4.8.16) の作用を $y_k$ で書くと $S_N[y]=\frac{m}{2\epsilon}\sum_{j,k}y_jM_{jk}y_k$ の形になり、$M$ は対角成分 $2-(\epsilon\omega)^2$、隣の成分 $-1$ の $(N-1)$ 次の3重対角行列である。$\omega=0$ の行列の行列式は $N$ で、$\cos\theta=1-(\epsilon\omega)^2/2$ と置くと $\det M=\sin N\theta/\sin\theta$ になる。比 $\det M/N$ が式 (4.8.22) の右辺の2乗の逆数 $\sin\omega T/\omega T$ に$N\to\infty$ で近づく様子を図 4.8.2 に示す。$N=4$ では行列式が $\omega T=3.06$ で 0 になり、$N\to\infty$ で零点は $\pi$ に近づく。