出てくるもの（2）：$\hbar\to0$ で作用の停留する経路が残る

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第8章 §4.8.4　★★★ 停留位相の評価を経路の空間で行うと、古典の経路だけが残り、前因子は Van Vleck の行列式、共役点を越えるごとに位相 $-\pi/2$ が付く。最小作用の原理が「最小」でなく「停留」である理由がここにある

1変数の停留位相

大きなパラメータ $\lambda$ を含む積分 $I(\lambda)=\int\mathrm{d} x\,g(x)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda\varphi(x)}$ を考える。$\lambda$ が大きいと、$\varphi$ が変化する所では被積分関数が速く振動し、隣り合う寄与が打ち消し合う。打ち消し合わずに残るのは、$\varphi'(x_*)=0$ となる停留点 $x_*$ の近くだけである。そこで $\varphi$ を2次まで展開し、Fresnel 積分 (4.8.7) を当てると

$$I(\lambda)\approx\sum_{x_*}g(x_*)\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda\lvert \varphi''(x_*)\rvert }}\;\exp\Bigl[\mathrm{i}\lambda\varphi(x_*)+\frac{\mathrm{i}\pi}{4}\operatorname{sgn}\varphi''(x_*)\Bigr]\tag{4.8.24}$$

を得る。第4部第7章では、この公式を運動量表示から位置表示への Fourier 変換に当てて、転回点の接続の公式を出した（第4部第7章）。各停留点の寄与は $\lambda^{-1/2}$ の大きさで、停留点から離れた所の寄与はそれより速く小さくなる。

経路の空間での停留位相

経路積分 (4.8.16) は、$N-1$ 個の変数 $q_1,\dots,q_{N-1}$ についての積分で、大きなパラメータは $1/\hbar$、位相の関数は $S_N(q_1,\dots,q_{N-1})$ である。$\hbar$ が作用に比べて小さいとき、式 (4.8.24) を多変数で使うと、寄与は $\partial S_N/\partial q_k=0$（$k=1,\dots,N-1$）を満たす経路の近くから来る。$N\to\infty$ でこの条件は $\delta S=0$、すなわち端を固定した Euler–Lagrange 方程式になる。最小作用の原理は、量子力学の経路の和で位相がそろう条件として出てくる。第1部第5章で、古典力学の中には作用を停留させる理由が無く、理由は量子力学にあると述べたのは、この意味である（第1部第5章）。停留点が最小点か鞍点かは問われない。式 (4.8.24) は $\varphi''$ の符号によらず使え、符号は位相 $\pm\pi/4$ にだけ現れる。光学で同じ議論をすると、光路長 $\int n\,\mathrm{d} s$ の停留する光線だけが残る Fermat の原理になる（第2部第10章）。

停留点のまわりの2次の積分は、第3節の揺らぎの積分そのものである。一般の $V$ について、古典の経路のまわりで作用を2次まで展開し、その揺らぎの積分を行った結果は

$$K(q_f,q_i;T)\approx\sum_{\text{古典の経路}}\sqrt{\frac{1}{2\pi\mathrm{i}\hbar}\Bigl|\frac{\partial^2S_{\mathrm{cl}}}{\partial q_f\,\partial q_i}\Bigr|}\; \exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_{\mathrm{cl}}(q_f,q_i;T)-\frac{\mathrm{i}\pi}{2}\nu\Bigr]\tag{4.8.25}$$

になる。和は $q_i$ から時間 $T$ で $q_f$ に着く古典の経路すべてについて取り、$\nu$ はその経路が途中で通り過ぎた共役点の数である。この式を Van Vleck の公式と呼ぶ¹1J. H. Van Vleck (1928), Proceedings of the National Academy of Sciences 14, 178–188。経路積分からの導出は C. Morette (1951), Physical Review 81, 848–852。下の脚注へ閉じる。2次の $L$ では式 (4.8.23) がこの形の厳密な場合で、近似の記号 $\approx$ が等号になる。

前因子の意味を見る。第1部第13章で、主関数の微分が端の運動量になることを示した。始点では $p_i=-\partial S_{\mathrm{cl}}/\partial q_i$ である（第1部第13章）。これを $q_f$ で微分すると $-\partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial q_f\partial q_i=\partial p_i/\partial q_f=(\partial q_f/\partial p_i)^{-1}$ となる。$\partial q_f/\partial p_i$ は、始点の運動量を少し変えたときに終点がどれだけ動くかを表し、古典の経路の束がどれだけ広がるかの目安である。経路の束が広がっている所では振幅が小さく、束が1点に集まる共役点（$\partial q_f/\partial p_i=0$）では前因子が発散する。これは第4部第7章で、転回点で WKB の振幅が発散したことの、経路の側での姿である。調和振動子では $q_f=q_i\cos\omega T+p_i\sin\omega T/(m\omega)$ なので $\partial q_f/\partial p_i=\sin\omega T/(m\omega)$ で、式 (4.8.23) の前因子と合う。

共役点を越えると位相 $-\pi/2$

調和振動子の核を $\omega T>\pi$ へ延ばす。$\omega T$ が $\pi$ を越えると式 (4.8.21) の $n=1$ のモードの係数が負になり、そのモードの Fresnel 積分の位相が $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$ から $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$ に変わる。比 $F/F_0$ には $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}$ が掛かる。したがって $\pi<\omega T<2\pi$ では

$$K(q_f,q_i;T)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\mathrm{i}\hbar\lvert \sin\omega T\rvert }}\,\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_{\mathrm{cl}}-\frac{\mathrm{i}\pi}{2}\Bigr]\tag{4.8.26}$$

で、式 (4.8.25) の $\nu=1$ の場合である。一般に $\nu$ は $\omega T/\pi$ の整数部分で、図 4.8.2 で行列式が 0 を横切った回数に等しい。

この位相は、ちょうど共役点の時刻 $T=\pi/\omega$ で何が起きるかを見ると確かめることができる。$\omega T$ が $\pi$ に下から近づくと $\sin\omega T=s\to+0$、$\cos\omega T\to-1$ で$S_{\mathrm{cl}}\to-m\omega(q_f+q_i)^2/(2s)$ となり、核は $q_f=-q_i$ のまわりに幅 $\sqrt{\hbar s/(m\omega)}$ で鋭く集まる Gauss 型の関数になる。その $q_f$ についての積分は、式 (4.8.7) で $a=-m\omega/(\hbar s)<0$ として $\sqrt{m\omega/(2\pi\mathrm{i}\hbar s)}\sqrt{2\pi\hbar s/(m\omega)}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}$ である。したがって

$$K\Bigl(q_f,q_i;\frac{\pi}{\omega}\Bigr)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}\,\delta(q_f+q_i).$$

半周期後の状態は始めの状態を $q\to-q$ と裏返したものに $-\mathrm{i}$ を掛けたものになる。固有状態の言葉では、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H\pi/(\omega\hbar)}$ の固有値は$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi(n+1/2)}=-\mathrm{i}(-1)^n$ で、$(-1)^n$ は $\psi_n$ の偶奇なので、裏返しに $-\mathrm{i}$ を掛けた演算子と一致する。共役点で古典の経路が1点に集まるとき、核は $\delta$ 関数になり、通り過ぎるたびに位相 $-\pi/2$ を残す。第4部第7章で転回点ごとに数えた Maslov の位相 $-\pi/2$ は、1周期の閉じた軌道が転回点の近くで通る共役点の数を数えたものに当たる。

1　J. H. Van Vleck (1928), Proceedings of the National Academy of Sciences 14, 178–188。経路積分からの導出は C. Morette (1951), Physical Review 81, 848–852。