当てる道具：時間を刻み、$p$ の積分で Legendre 変換する

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第8章 §4.8.2　★★★ 時間を $N$ 等分して完全系を挟むと、指数の肩に相空間の作用 $\int(p\dot q-H)\mathrm{d} t$ が並ぶ。$p$ の Gauss 積分は停留点 $p=m\dot q$ で値が決まり、Legendre 変換の逆を行って $L$ を戻す

時間を刻む

時間 $T$ を $N$ 等分し、刻み幅を $\epsilon=T/N$ とする。$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat HT/\hbar}=(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat H/\hbar})^N$ の $N$ 個の因子の間に、位置の完全系 $\int\mathrm{d} q_k\,| q_k \rangle \langle q_k |$（$k=1,\dots,N-1$）を挟む。端は $q_0=q_i$、$q_N=q_f$ とする。

$$K(q_f,q_i;T)=\int\mathrm{d} q_1\cdots\mathrm{d} q_{N-1}\prod_{k=0}^{N-1}\langle q_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat H/\hbar} | q_k \rangle\tag{4.8.11}$$

これは式 (4.8.4) を $N-1$ 回使ったものと同じで、ここまで近似は入っていない。第1部第3章で、汎関数 $S[q]$ を時刻の格子点での値 $q_1,\dots,q_{N-1}$ の多変数関数で近似した（第1部第3章）。式 (4.8.11) の積分変数は、その格子点の値そのものである。

短い時間の因子を計算する。$\hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat q)$ の2つの項は交換しないが、

$$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat H/\hbar}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat p^2/(2m\hbar)}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon V(\hat q)/\hbar}+\mathcal{O}(\epsilon^2)\tag{4.8.12}$$

が成り立つ。両辺を $\epsilon$ で展開すると1次の項までは一致し、違いは2次の項にある交換子 $\left[\hat p^2,\,V(\hat q)\right]$ の分だけだからである。1つの刻みの誤差が $\mathcal{O}(\epsilon^2)$ なら、$N=T/\epsilon$ 個の刻みの誤差の合計は $\mathcal{O}(\epsilon)$ で、$N\to\infty$ で消える。右側の因子 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon V(\hat q)/\hbar}$ は $| q_k \rangle$ に当たって数 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon V(q_k)/\hbar}$ になり、左側の因子には運動量の完全系を挟む。

$$\langle q_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat H/\hbar} | q_k \rangle \approx\int\frac{\mathrm{d} p_k}{2\pi\hbar}\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar}\Bigl(p_k\frac{q_{k+1}-q_k}{\epsilon}-\frac{p_k^2}{2m}-V(q_k)\Bigr)\Bigr].$$

これを式 (4.8.11) に入れると、

$$K(q_f,q_i;T)=\lim_{N\to\infty}\int\prod_{k=1}^{N-1}\mathrm{d} q_k\prod_{k=0}^{N-1}\frac{\mathrm{d} p_k}{2\pi\hbar}\, \exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\sum_{k=0}^{N-1}\epsilon\Bigl(p_k\dot q_k-H(q_k,p_k)\Bigr)\Bigr],\qquad \dot q_k\coloneqq\frac{q_{k+1}-q_k}{\epsilon}\tag{4.8.13}$$

を得る。指数の肩の和は、第1部第8章の相空間の作用 $S[q,p]=\int(p\dot q-H)\,\mathrm{d} t$ を格子点で書いたものである（第1部第8章）。$q$ は $N-1$ 個の内側の点で積分し、$p$ は $N$ 個の区間ごとに積分する。端で固定するのは $q$ だけで、$p$ の端は固定しない。これは第1部第8章で、相空間の作用の停留を $q$ の端だけを固定して求めたことと対応している。

$p$ の積分は Legendre 変換

式 (4.8.13) の $p_k$ は、それぞれ1つの区間にしか現れないので、区間ごとに積分することができる。$p_k$ を含む部分は

$$\int\frac{\mathrm{d} p_k}{2\pi\hbar}\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar}\Bigl(p_k\dot q_k-\frac{p_k^2}{2m}\Bigr)\Bigr] =\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}}\,\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar}\,\frac m2\dot q_k^2\Bigr]\tag{4.8.14}$$

で、式 (4.8.5) と同じ形の Gauss 積分である（$T$ を $\epsilon$ に、$q_f-q_i$ を $\epsilon\dot q_k$ に置き換えればよい）。

この結果を Legendre 変換として読む。指数の肩の $p\dot q-p^2/(2m)$ を $p$ の関数とみると、停留点は $\partial(p\dot q-p^2/2m)/\partial p=0$ から $p=m\dot q$ で、そこでの値は $m\dot q^2/2$ である。第1部第7章の言葉では、$H$ から $L$ への Legendre 変換

$$L(q,\dot q)=\operatorname*{stat}_{p}\bigl(p\dot q-H(q,p)\bigr)\tag{4.8.15}$$

そのものである（stat は停留点での値を取る操作）。Gauss 積分では、指数の肩が積分変数の2次式なので、積分の値は「停留点での指数関数の値」と「2次の係数で決まる前因子」の積に厳密に等しい。したがって $H$ が $p$ の2次式なら、$p$ の積分は Legendre 変換を誤差なしに行い、前因子 $\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon)}$ を残す。量子化の入口で $L\to H$ と進んだ道を、経路積分は $p$ の積分で $H\to L$ と引き返している。

区間ごとの $p$ の積分を全部行うと、

$$K(q_f,q_i;T)=\lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}\Bigr)^{N/2}\int\prod_{k=1}^{N-1}\mathrm{d} q_k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_N/\hbar},\qquad S_N=\sum_{k=0}^{N-1}\epsilon\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{q_{k+1}-q_k}{\epsilon}\Bigr)^2-V(q_k)\Bigr]\tag{4.8.16}$$

となる。$S_N$ は、格子点 $q_0,\dots,q_N$ を順に直線で結んだ折れ線の経路の作用 $S[q]$ を、各区間の左端の $V$ で近似したものである。$N\to\infty$ の極限を記号で

$$K(q_f,q_i;T)=\int_{q(0)=q_i}^{q(T)=q_f}\mathcal Dq\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[q]/\hbar}\tag{4.8.17}$$

と書き、これを経路積分と呼ぶ。$\mathcal Dq$ は式 (4.8.16) の前因子つきの多重積分の極限を表す記号で、それ自身が独立に定義された測度ではない。すべての折れ線の経路が、その作用で決まる同じ大きさ 1 の重み $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_N/\hbar}$ で寄与する。古典の経路も、古典力学では決して通らない経路も、重みの絶対値は同じである。違いは位相だけにある。この見方は Dirac が遷移振幅と $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ の関係として指摘し¹1P. A. M. Dirac (1933), Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3, 64–72.下の脚注へ閉じる、Feynman が式 (4.8.16) の形にまとめた²2R. P. Feynman (1948), Reviews of Modern Physics 20, 367–387.下の脚注へ閉じる。

電磁場があるとき

第2部第2章の荷電粒子の Lagrangian $L=\frac m2\dot{\bm{r}}^2-q\phi+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ を選んでも、$H=(\bm{p}-q\bm{A})^2/(2m)+q\phi$ は $\bm{p}$ の2次式なので、$\bm{p}$ の積分は同じく Legendre 変換の逆を行い、指数の肩に $L$ が戻る（第2部第2章）。ただし $\bm{A}$ は格子点の区間の中点 $(\bm{r}_k+\bm{r}_{k+1})/2$ で評価する必要がある。左端で評価すると、$N\to\infty$ の極限で正しい Schrödinger 方程式（第4部第6章）を再現しない。$\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ の項は、経路ごとに重みへ

$$\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} q}{\hbar}\int_{\text{経路}}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{r}\Bigr]$$

を掛ける。磁束 $\Phi_B$ を閉じ込めたソレノイドの両側を通る2本の経路では、この因子の比が $\exp[\mathrm{i} q\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{r}/\hbar]=\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Phi_B/\hbar}$ になる。これが Aharonov–Bohm の位相差で、経路積分では「2本の経路の作用の差」として直接に出る（第2部第8章・第4部第6章）。経路が磁場のある所を通らなくても、作用には $\bm{A}$ が入るので位相が変わる。

1　P. A. M. Dirac (1933), Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3, 64–72.

2　R. P. Feynman (1948), Reviews of Modern Physics 20, 367–387.

3　M. Kac (1949), Transactions of the American Mathematical Society 65, 1–13.