出てくるもの（3）：時間を虚数にすると分配関数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第8章 §4.8.5　★★★ $t=-\mathrm{i}\tau$ と置くと $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ は実数の重み $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ になる。周期 $\beta\hbar$ の閉じた経路の和が $Z=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ で、高温では古典の $\int\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p\,\mathrm{e}^{-\beta H}/(2\pi\hbar)$ に戻る

虚数の時間と Euclid の作用

時間発展の演算子 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ で $t=-\mathrm{i}\tau$（$\tau$ は実数）と置くと、$\mathrm{e}^{-\hat H\tau/\hbar}$ になる。$\tau=\beta\hbar$（$\beta$ は逆温度。この章では $T$ を時間の長さに使うので、温度の字は使わず $\beta$ だけで書く）とすれば、これはカノニカル分布の演算子 $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ である（第3部第3章）。経路積分の側では、作用の中の時間を同じく虚数にする。$\mathrm{d} t=-\mathrm{i}\,\mathrm{d}\tau$、$\mathrm{d} q/\mathrm{d} t=\mathrm{i}\,\mathrm{d} q/\mathrm{d}\tau$ なので

$$\mathrm{i} S=\mathrm{i}\int\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}\Bigr)^2-V\Bigr]\mathrm{d} t=\mathrm{i}\int\Bigl[-\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d}\tau}\Bigr)^2-V\Bigr](-\mathrm{i}\,\mathrm{d}\tau) =-\int\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d}\tau}\Bigr)^2+V\Bigr]\mathrm{d}\tau$$

となる。そこでEuclid の作用

$$S_{\mathrm E}[q]=\int_0^{\tau}\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d}\tau'}\Bigr)^2+V(q)\Bigr]\mathrm{d}\tau'\tag{4.8.27}$$

を定義すると、$\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}=\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ で、

$$K_{\mathrm E}(q_f,q_i;\tau)=\langle q_f | \mathrm{e}^{-\hat H\tau/\hbar} | q_i \rangle =\int_{q(0)=q_i}^{q(\tau)=q_f}\mathcal Dq\,\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}[q]/\hbar}\tag{4.8.28}$$

となる。前因子は $(m/2\pi\hbar\epsilon)^{N/2}$ で実数である。Euclid の作用では $V$ の前の符号が $L=\frac m2\dot q^2-V$ と逆で、全体は $\frac m2\dot q^2+V$ の「エネルギーの形」をしている。重み $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ は正の実数で、作用の大きな経路ほど小さい。振動による打ち消し合いが無くなり、被積分関数は確率の重みとして読むことができる。

$\delta S_{\mathrm E}=0$ の条件は $m\,\mathrm{d}^2q/\mathrm{d}\tau^2=+V'(q)$ で、ポテンシャルを逆さにした $-V$ の中の Newton の運動方程式である。第4部第7章で、トンネルの確率の指数 $\Theta=\int\lvert p\rvert \,\mathrm{d} x/\hbar$ が「虚数の時間の中の古典運動」の作用で決まることを示した（第4部第7章）。その運動は $S_{\mathrm E}$ の停留点で、停留位相の代わりに $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ の最大点の近くを評価する Laplace の方法を使うと、トンネルの振幅が $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ の形で出る。障壁を越える虚数の時間の古典解はインスタントンと呼ばれる。

分配関数は閉じた経路の和

分配関数 $Z=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ を位置の固有状態で跡を取って書くと

$$Z=\int\mathrm{d} q\,K_{\mathrm E}(q,q;\beta\hbar)=\oint_{q(\beta\hbar)=q(0)}\mathcal Dq\,\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}[q]/\hbar}\tag{4.8.29}$$

となる。始点と終点が同じで、その点 $q$ についても積分するので、虚数の時間の長さ $\beta\hbar$ を周期とする閉じた経路すべての和になる。温度が高いほど閉じた経路の周期 $\beta\hbar$ は短い。

調和振動子では、式 (4.8.23) に $T=-\mathrm{i}\tau$ を入れると $\sin\omega T=-\mathrm{i}\sinh\omega\tau$、$\cos\omega T=\cosh\omega\tau$ で

$$K_{\mathrm E}(q_f,q_i;\tau)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\hbar\sinh\omega\tau}}\exp\Bigl[-\frac{m\omega}{2\hbar\sinh\omega\tau}\Bigl((q_f^2+q_i^2)\cosh\omega\tau-2q_fq_i\Bigr)\Bigr]\tag{4.8.30}$$

になる。指数の肩は、$-V$ の中の古典の経路 $q(\tau')=[q_i\sinh\omega(\tau-\tau')+q_f\sinh\omega\tau']/\sinh\omega\tau$ の Euclid の作用 $S_{\mathrm E,\mathrm{cl}}$ を $-\hbar$ で割ったものに等しい。式 (4.8.30) は Mehler の核と呼ばれる。

高温の極限は古典の分配関数

$\beta\hbar$ が短いと、閉じた経路は始点 $q$ から遠くへ離れることができない。自由粒子の核の幅から、経路の広がりは

$$\lambda_T=\sqrt{\frac{2\pi\beta\hbar^2}{m}}$$

の程度である（熱的 de Broglie 波長。添字の $T$ は温度 $1/( k_{\mathrm B}\beta)$ で、この章の時間の長さ $T$ とは別）。$V$ がこの長さの間でほとんど変わらなければ、経路の上の $V$ を始点の値 $V(q)$ で置き換えてよく、

$$K_{\mathrm E}(q,q;\beta\hbar)\approx\sqrt{\frac{m}{2\pi\beta\hbar^2}}\,\mathrm{e}^{-\beta V(q)}=\frac{1}{\lambda_T}\,\mathrm{e}^{-\beta V(q)}$$

となる。一方、$\int\frac{\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\mathrm{e}^{-\beta p^2/2m}=\sqrt{m/(2\pi\beta\hbar^2)}$ なので、

$$Z\approx\int\frac{\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{-\beta H(q,p)}\tag{4.8.31}$$

を得る。第3部第3章の古典の分配関数で、相空間の体積を $h=2\pi\hbar$ で割る測度まで含めて戻る。量子の効果は、閉じた経路が広がる $\lambda_T$ の範囲で $V$ が一定でないことによる。