授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第8章 §4.8.6　★★ 授業の量子力学は Schrödinger 方程式を解いて固有関数で展開する。経路積分の短い時間の核から Schrödinger 方程式が出て、核の固有関数展開から準位が読める

授業での形

解析力学を経ずに習う量子力学では、出発点は Schrödinger 方程式

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2\psi}{\partial q^2}+V(q)\psi$$

で、定常状態 $\hat H\psi_n=E_n\psi_n$ を求めて $\psi(q,t)=\sum_nc_n\psi_n(q)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_nt/\hbar}$ と展開する。この展開の係数 $c_n=\int\psi_n^*(q_i)\psi(q_i,0)\,\mathrm{d} q_i$ を入れて式 (4.8.3) と比べると、

$$K(q_f,q_i;T)=\sum_n\psi_n(q_f)\,\psi_n^*(q_i)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_nT/\hbar}\tag{4.8.32}$$

を得る。授業では核をこの形で（Green 関数として）習うことが多い。経路積分は同じ $K$ を固有関数を使わずに作用だけで書いたもので、2つの書き方は同じ量の別の表示である。

短い時間の核から Schrödinger 方程式が出る

経路積分から Schrödinger 方程式へ戻る。式 (4.8.16) の1つの刻みは

$$\psi(q,t+\epsilon)=\int\mathrm{d} q'\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}}\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} m(q-q')^2}{2\hbar\epsilon}-\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar}V(q')\Bigr]\psi(q',t)$$

である。$q'=q+\eta$ と置く。$\eta$ の重み $\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\eta^2/(2\hbar\epsilon)}$ は $\lvert \eta\rvert \gg\sqrt{\hbar\epsilon/m}$ で速く振動するので、寄与するのは $\eta$ が $\sqrt{\hbar\epsilon/m}$ 程度の所だけである。そこで $\psi(q+\eta)=\psi+\eta\psi'+\frac12\eta^2\psi''+\cdots$、$V(q+\eta)\approx V(q)$ と展開し、$\eta$ の重みのモーメント

$$\langle 1 \rangle =1,\qquad\langle \eta \rangle =0,\qquad\langle \eta^2 \rangle =\frac{\mathrm{i}\hbar\epsilon}{m}\tag{4.8.33}$$

（$\langle f \rangle \coloneqq\int\mathrm{d}\eta\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\eta^2/(2\hbar\epsilon)}f(\eta)$）を使うと、

$$\psi(q,t+\epsilon)=\Bigl(1-\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar}V(q)\Bigr)\Bigl(\psi+\frac{\mathrm{i}\hbar\epsilon}{2m}\psi''\Bigr)+\mathcal{O}(\epsilon^2)$$

となる。$\epsilon$ の1次を比べて $\mathrm{i}\hbar$ を掛けると Schrödinger 方程式が出る。$\langle \eta^2 \rangle$ が $\epsilon^2$ でなく $\epsilon$ に比例することから、典型的な経路は1区間で $\sqrt\epsilon$ 程度動き、$\Delta q/\epsilon\sim\epsilon^{-1/2}$ は $\epsilon\to0$ で発散する。経路積分に寄与する経路は、至る所で微分できない折れ線である。式 (4.8.16) の $\dot q_k$ は差分で、$\dot q$ が存在するわけではない。

固有関数展開と跡から準位を読む

調和振動子で、式 (4.8.32) を虚数の時間で書くと、Mehler の核 (4.8.30) が $\sum_n\psi_n(q_f)\psi_n(q_i)\mathrm{e}^{-(n+1/2)\omega\tau}$ に等しいことになる。これは $m=\omega=\hbar=1$ の Hermite 関数で数値的に確かめられる（verify_ch4-08.py で 80 項の和が $10^{-12}$ で一致）。実時間の跡 $\int\mathrm{d} q\,K(q,q;T)$ を式 (4.8.23) の Gauss 積分で求めると $1/[2\mathrm{i}\sin(\omega T/2)]$ で、$\sum_n\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega(n+1/2)T}$（$T$ に小さな負の虚部を付けて収束させる）と一致する。跡を $T$ について Fourier 変換すると、極の位置が準位 $E_n$ に等しい。授業で「Schrödinger 方程式を解いて準位を求める」ことは、経路積分では「閉じた経路の和の周波数を読む」ことに対応する。