当てる道具：Rayleigh–Sommerfeld の積分と Fresnel 近似

光学と量子エレクトロニクス　第6章 §6.2　★★★ モードの伝わり方を位置の言葉に戻すと、開口の各点から出る2次波の重ね合わせになる。円開口の軸上の場は閉じた形で求まり、Fresnel 数 $N_{\mathrm F}$ が近似の目安になる

伝達関数を位置の言葉に戻す

式 (6.3) は角スペクトルに伝達関数 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz}$ を掛けたものの逆変換なので、位置の言葉では $z=0$ の場と、伝達関数の逆変換 $h(\bm{x},z)$ との畳み込みになる：

$$U(\bm{x},z)=\int\mathrm{d}^2x'\,U(\bm{x}',0)\,h(\bm{x}-\bm{x}',z),\qquad h(\bm{x},z)=\int\frac{\mathrm{d}^2q}{(2\pi)^2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{q}\cdot\bm{x}}.\tag{6.5}$$

$h$ を求めるには、球面波を平面波に分ける Weyl の展開

$$\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}}{r}=\frac{\mathrm{i}}{2\pi}\int\mathrm{d}^2q\,\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{q}\cdot\bm{x}+k_z\lvert z\rvert )}}{k_z},\qquad r=\sqrt{\lvert \bm{x}\rvert ^2+z^2}\tag{6.6}$$

を使う。右辺の各項は Helmholtz 方程式を満たし、$z=0$ で $\partial_z$ が跳ぶ量が点源の強さに当たる（式の証明は面の上の Fourier 変換を極座標で実行するもので、ここでは結果だけ使う）。$z>0$ で両辺を $z$ で微分すると、右辺の $1/k_z$ が消えて

$$-\frac{1}{2\pi}\frac{\partial }{\partial z}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}}{r}=\int\frac{\mathrm{d}^2q}{(2\pi)^2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{q}\cdot\bm{x}}=h(\bm{x},z)$$

となる。左辺の微分を実行すれば次の結果を得る。

核の形を読む。$kr\gg1$（観測点が開口から波長より十分遠い）なら括弧は $1$ で、核は $\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}/(\mathrm{i}\lambda r)$ に $z/r=\cos\theta$ を掛けたものになる。開口の各点 $\bm{x}'$ から、振幅 $U(\bm{x}',0)$ の球面波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}/r$ が出て、それを全部足し合わせたものが観測点の場である、という形をしている。前の $1/(\mathrm{i}\lambda)$ は、2次波の位相が入射波より $\pi/2$ 進み、大きさが波長に反比例することを表し、$\cos\theta$ は斜めに出る2次波が弱いこと（傾斜因子）を表す。学部の光学で Huygens–Fresnel の原理として習う形は、この核の $kr\gg1$ の形である（6.6節）。

数値で確かめておく。式 (6.5) の $h$ を、伝わるモード（$\lvert \bm{q}\rvert <k$）とエバネッセント波（$\lvert \bm{q}\rvert >k$）の両方を含めて数値積分すると、$\lvert \bm{x}\rvert =1.3\lambda$, $z=2\lambda$ の点で式 (6.7) の核と $10^{-6}$ の精度で一致する（verify_ch06.py）。エバネッセント波を落とすと一致しない。開口のすぐ近く（$z\sim\lambda$）では括弧の $\mathrm{i}/(kr)$ の項もエバネッセント波も残り、それらを含めて初めて式 (6.7) は厳密になる。

円開口の軸上の場

半径 $a$ の円い穴に振幅 $1$ の平面波が垂直に入り、穴の中では $U(\bm{x}',0)=1$、穴の外では $0$ とする（この置き方を Kirchhoff の境界条件と呼ぶ。6.5節）。光軸の上（$\bm{x}=0$）では $r$ が穴の中の点までの距離 $\rho=\lvert \bm{x}'\rvert$ だけで決まるので、$r=\sqrt{\rho^2+z^2}$ を変数にとると $\rho\,\mathrm{d}\rho=r\,\mathrm{d} r$ で、

$$U(0,z)=\int_0^a2\pi\rho\,\mathrm{d}\rho\,\frac{z}{r}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}}{\mathrm{i}\lambda r}\Bigl(1+\frac{\mathrm{i}}{kr}\Bigr) =\int_z^{R_a}\mathrm{d} r\,\frac{z\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}}{r^2}\Bigl(-\mathrm{i} k+\frac1r\Bigr) =\Bigl[-\frac{z\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}}{r}\Bigr]_z^{R_a}$$

となる（$R_a=\sqrt{a^2+z^2}$ は軸上の点から穴の縁までの距離）。被積分関数がちょうど $-z\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}/r$ の微分になっているので積分は閉じた形で求まり、

$$U(0,z)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}-\frac{z}{R_a}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kR_a}\tag{6.8}$$

を得る。第1項は穴の中心から来た波、第2項は穴の縁から来た波と読める。軸上の明るさは2つの波の干渉で決まり、縁までの光路が中心までより半波長の奇数倍だけ長いと明るく、偶数倍だと暗い。

Fresnel 近似と Fresnel 数

観測点が開口に比べて十分遠いと、$r$ を $\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert ^2/z^2$ について展開できる：

$$r=z+\frac{\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert ^2}{2z}-\frac{\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert ^4}{8z^3}+\cdots .\tag{6.9}$$

振幅の $1/r$ と $z/r$ では最初の項 $z$ だけを残し、位相 $kr$ では2番目の項まで残し、括弧の $\mathrm{i}/(kr)$ を落とす。これを Fresnel 近似と呼び、

$$U(\bm{x},z)\approx\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}}{\mathrm{i}\lambda z}\int\mathrm{d}^2x'\,U(\bm{x}',0)\,\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} k\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert ^2}{2z}\Bigr]\tag{6.10}$$

を得る。この核の Fourier 変換は近軸の伝達関数 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lvert \bm{q}\rvert ^2z/(2k)}$ そのもので、Fresnel 近似は式 (6.4) の近軸近似を位置の言葉で書いたものになっている。位相で落とした3番目の項が $1$ ラジアンより十分小さい、つまり開口と観測の範囲で $\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert$ の最大値を $\rho_{\max}$ として

$$\frac{k\rho_{\max}^4}{8z^3}\ll1\quad\Longleftrightarrow\quad z^3\gg\frac{\pi\rho_{\max}^4}{4\lambda}\tag{6.11}$$

が、Fresnel 近似を使ってよい十分条件である。

円開口の軸上では、式 (6.8) の $R_a\approx z+a^2/(2z)$、$z/R_a\approx1$ と置くことに当たり、

$$U(0,z)\approx\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}\bigl(1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi N_{\mathrm F}}\bigr),\qquad \frac{I(0,z)}{I_0}\approx4\sin^2\frac{\pi N_{\mathrm F}}{2},\qquad N_{\mathrm F}=\frac{a^2}{\lambda z}\tag{6.12}$$

となる。$N_{\mathrm F}$ を Fresnel 数と呼ぶ。開口の縁と中心の光路差 $a^2/(2z)$ が半波長の何倍かを表す無次元量で、回折の様子は $N_{\mathrm F}$ でほぼ決まる。$N_{\mathrm F}$ が奇数の所で軸上は入射光の4倍の明るさになり、偶数の所で真っ暗になる。$N_{\mathrm F}\gg1$ の近い所では、開口の影がほぼ幾何光学のとおりにでき、縁の近くだけに縞が出る。$N_{\mathrm F}\ll1$ の遠い所では、開口全体が1つの点のように振る舞い、次の節の Fraunhofer 回折になる。

図 6.1 は $a=10\lambda$ の場合を比べたもので、開口に近づく（$N_{\mathrm F}$ が大きくなる）ほど Fresnel 近似は厳密な値から外れる。近くでは式 (6.9) の3番目の項が位相を数ラジアンずらし、振幅の $z/R_a$ も $1$ から離れるからである。

証明

式 (6.7) は $z=0$ の場について線形で、$U_1(\bm{x}',0)+U_2(\bm{x}',0)=(t_1+t_2)U_{\mathrm{inc}}(\bm{x}',0)=U_{\mathrm{inc}}(\bm{x}',0)$ だからである。