何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第6章 §6.5　★★ スカラー近似・Kirchhoff の境界条件・Fresnel 近似・Fraunhofer 近似の4つ。髪の毛の回折で太さを測る実験が、Babinet の原理と Fraunhofer の式をそのまま使う

置いた近似

この章では4つの近似を置いた。1つ目はスカラー近似で、電場の成分どうしの結びつきを無視した。開口が波長より十分大きく、回折の角度が小さい範囲では、偏光の向きによる差は小さい。開口数が $1$ に近いレンズの焦点では、光軸の向きの電場の成分が無視できなくなり、偏光で焦点の形が変わる。この効果は第8章で扱う。

2つ目は Kirchhoff の境界条件で、開口の中の場を入射波そのもの、板の上の場を $0$ と置いた。本当の開口の場は、板の縁から波長程度の範囲で入射波と違い、その違いは板の材質（金属か黒い吸収体か）と偏光で変わる。この置き換えは、解くべき散乱の問題の未知の量（開口の上の場）を、分かっている量（入射波）で置き換えて問題を閉じたものなので、C 型の近似にあたる。命題 6.2 は $z=0$ の場さえ与えれば厳密なので、近似が入るのはこの境界の値の所だけである。開口が大きい（$\lambda/a$ が小さい）ほど縁の近くの割合が減るので良くなると見込めるが、誤差の一般的な評価はこの章では確かめていない。

3つ目は Fresnel 近似で、Rayleigh–Sommerfeld の積分の核の位相を $\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert ^2$ の1次で、振幅を $z$ で打ち切った。被積分関数の差は、位相の差 $k\rho_{\max}^4/(8z^3)$ と振幅の差 $\rho_{\max}^2/z^2$ で押さえられるので、式 (6.11) が成り立つ範囲では積分の差もその程度に収まる。図 6.1 はこの条件が破れる開口の近くで近似が外れる様子を示している。

4つ目は Fraunhofer 近似で、Fresnel 近似の指数から開口の上の位置の2次の項 $k\lvert \bm{x}'\rvert ^2/(2z)$ を落とした。小さいパラメータは開口の Fresnel 数 $N_{\mathrm F}=a^2/(\lambda z)$ で、円開口の軸上では、厳密な式 (6.8) を $N_{\mathrm F}\to0$ で展開した $\lvert U\rvert ^2\approx(\pi N_{\mathrm F})^2$ が、式 (6.19) の中心の強度 $I(0)/I_0=(\pi a^2)^2/(\lambda z)^2$ にそのまま一致する。

何の実験の量で確かめるか：髪の毛の太さを測る

回折の式を確かめる最も手軽な実験は、レーザー光を細い物に当てて、遠くのスクリーンに出る縞の間隔を測ることである。細い髪の毛は、同じ幅のスリットと相補的な板である。Babinet の原理（命題 6.3）から、髪の毛の場 $U_{\text{髪}}$ とスリットの場 $U_{\text{スリット}}$ の和は板が無いときの場で、レーザーのビームは幅が有限なので、遠方でビームが届く狭い中心から外れた所では板が無いときの場は $0$ になる。そこでは $U_{\text{髪}}=-U_{\text{スリット}}$ で、強度は同じになる。したがって、髪の毛の回折の縞は中心の明るい点を除いて、同じ幅のスリットの縞 (6.14) と同じ位置に出る。