出てくるもの（1）：Fraunhofer 回折は開口の Fourier 変換

光学と量子エレクトロニクス　第6章 §6.3　★★★ $N_{\mathrm F}\ll1$ の遠方では、向き $\theta$ に届く場は横の波数 $\bm{q}=k\sin\theta$ のモードの振幅そのもの。スリットと回折格子の像がここから出る

遠方の場は角スペクトルそのもの

Fresnel 近似の式 (6.10) の指数の中を $\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert ^2=\lvert \bm{x}\rvert ^2-2\bm{x}\cdot\bm{x}'+\lvert \bm{x}'\rvert ^2$ と分ける。開口の大きさを $a$ として、開口の Fresnel 数が小さい（$N_{\mathrm F}=a^2/(\lambda z)\ll1$、つまり $k\lvert \bm{x}'\rvert ^2/(2z)\ll1$）なら、$\lvert \bm{x}'\rvert ^2$ の項を落としてよい。残りは

$$U(\bm{x},z)\approx\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\lvert \bm{x}\rvert ^2/(2z)}}{\mathrm{i}\lambda z}\,\tilde U\Bigl(\bm{q}=\frac{k\bm{x}}{z};0\Bigr),\qquad \frac{I(\bm{x})}{I_0}=\frac{1}{\lambda^2z^2}\Bigl\lvert\tilde U\Bigl(\frac{k\bm{x}}{z};0\Bigr)\Bigr\rvert^2\tag{6.13}$$

となる。これを Fraunhofer 回折と呼ぶ。遠方の像は、開口の面の上の場の Fourier 変換（角スペクトル）を、横の波数 $\bm{q}=k\bm{x}/z$ で見たものである。

この結果の意味は、モードの言葉で読むとはっきりする。遠くの点 $\bm{x}$ は開口から向き $\bm{x}/z\approx\sin\theta$ に見えるので、そこには開口から $\sin\theta$ の向きに進む平面波だけが届く。その平面波は横の波数 $\bm{q}=k\sin\theta$ のモードで、振幅は角スペクトル $\tilde U(\bm{q};0)$ である。遠くに離れると、重ね合わせていた平面波のモードが向きごとに分かれて見える。近軸の極限 $\lvert \bm{x}\rvert \ll z$ では $\bm{x}/z=\tan\theta\approx\sin\theta$ で、この差は6.5節で数値で見る。

全パワーの保存も確かめておく。$\mathrm{d}^2x=(z/k)^2\mathrm{d}^2q$ なので、式 (6.13) の強度を面の上で積分すると$\int\mathrm{d}^2x\,I/I_0=\int\frac{\mathrm{d}^2q}{(2\pi)^2}\lvert \tilde U\rvert ^2=\int\mathrm{d}^2x'\,\lvert U(\bm{x}',0)\rvert ^2$（最後は Parseval の等式）となり、開口を通ったパワーがそのまま遠方に届く。レンズの焦点面でも、距離 $z$ を焦点距離 $f$ に置き換えた同じ式が、遠方まで行かずに成り立つ。レンズの位相が $\lvert \bm{x}'\rvert ^2$ の項を打ち消すからで、この性質を使う光学（4f 系・空間フィルタ）は第7章（第7章）で扱う。

スリットと回折格子

$y$ の向きに長い幅 $b$ のスリット（$\lvert x'\rvert <b/2$ で透過率 $1$）では、$x$ の向きの変換だけが要り、

$$\tilde t(q_x)=\int_{-b/2}^{b/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} q_xx'}\,\mathrm{d} x'=b\,\frac{\sin(q_xb/2)}{q_xb/2},\qquad I(\theta)\propto\Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^2,\quad u=\frac{\pi b\sin\theta}{\lambda}\tag{6.14}$$

となる。暗い所は $b\sin\theta=m\lambda$（$m=\pm1,\pm2,\dots$）で、中央の明るい帯の半分の角度幅 $\lambda/b$ は、スリットが狭いほど広い。$\Delta q\sim1/b$ の見積もりがそのまま正確な形になった。

同じスリットを間隔 $d$ で $N$ 本並べると、$n$ 番目のスリットの透過の関数は $x'$ を $nd$ ずらしたものなので、Fourier 変換は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} nq_xd}$ 倍になる。全部を足すと

$$\tilde t_N(q_x)=\tilde t(q_x)\sum_{n=0}^{N-1}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} nq_xd},\qquad \Bigl\lvert\sum_{n=0}^{N-1}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} n\gamma}\Bigr\rvert^2=\frac{\sin^2N\gamma}{\sin^2\gamma},\quad \gamma=\frac{q_xd}{2}=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\tag{6.15}$$

を得る。強度は1本のスリットの像（包絡線）に、並べたことによる因子 $\sin^2N\gamma/\sin^2\gamma$ を掛けたものである。この因子は $\gamma=m\pi$、つまり

$$d\sin\theta=m\lambda\qquad(m=0,\pm1,\pm2,\dots)\tag{6.16}$$

で最大値 $N^2$ をとる（回折格子の式）。$m$ を回折の次数と呼ぶ。主な最大の山から最初の $0$ までは $\Delta\gamma=\pi/N$、角度で $\Delta(\sin\theta)=\lambda/(Nd)$ で、本数が多いほど山は細い。山の高さが $N^2$ で幅が $1/N$ なので、各山のパワーは $N$ に比例し、本数に比例して光が通ることと合っている。

格子は波長を分ける道具になる。波長 $\lambda$ と $\lambda+\Delta\lambda$ の2本の線を $m$ 次で見ると、山の位置は $\Delta(\sin\theta)=m\Delta\lambda/d$ だけずれる。このずれが山の半分の幅 $\lambda/(Nd)$ に等しいとき、一方の山の頂上がもう一方の最初の $0$ に重なり、2本がちょうど分かれて見える（Rayleigh の基準）。したがって分解能は

$$\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN\tag{6.17}$$

で、照らされた本数と次数の積で決まる。格子の間隔 $d$ そのものは分解能に入らない。