この章で取り出すモード：横の平面波と薄い物体

光学と量子エレクトロニクス　第7章 §7.1　★★★ 自由空間の伝搬は角スペクトルの各成分に位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz}$ を掛ける操作で、薄い物体とレンズは実空間で透過率を掛ける操作である

第6章（第6章）では、開口を通った光が遠くでどう広がるかを調べ、Fraunhofer 回折の像が開口の Fourier 変換になることを見た。そこで遠方として必要だった距離は、開口の半径を $a$、波長を $\lambda$ として $a^2/\lambda$ よりずっと大きい距離で、$a=5\,\mathrm{mm}$ の開口では百メートルを超える。レンズを1枚置くと、この遠方の像がレンズの焦点面に現れる。この章では、この事実を出発点にして、光学系を「空間周波数ごとに振幅と位相を変える線形の系」として読む。

この章で取り出す場のモードは、光軸に垂直な面の中の波数 $\bm{K}$ を持つ平面波（角スペクトルの成分）である。自由空間はこのモードを混ぜず、各モードに位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz}$ を掛けるだけなので、自由空間の伝搬は波数の表示で対角になる。物質のモデルは、薄い物体の透過率 $t(\bm{x})$ と、厚さが位置の2次式で変わる薄いレンズである。物質と光の結合は、透過率を場に掛ける実空間での掛け算で、波数の表示ではモードどうしを混ぜる畳み込みになる。光学系の計算は、波数の表示で対角な操作（伝搬）と実空間で対角な操作（物体・レンズ）を交互に当てることに尽きる。

7.1節でモードと物体のモデルを置き、7.2節でレンズの前の焦点面と後ろの焦点面が Fourier 変換で結ばれることを示す。7.3節と7.4節が「出てくるもの」で、2枚のレンズを並べた 4f 系の焦点面で空間周波数を選ぶ空間フィルタと位相差法、コヒーレントな照明とインコヒーレントな照明での結像の伝達関数を導く。7.5節で置いた近似（スカラー波・Fresnel 近似・薄い物体）と測る量を述べ、7.6節で学部の光学で習う空間周波数 $\nu$ の書き方と並べる。

角スペクトル：自由空間を対角にするモード

角周波数 $\omega$ の単色の光を考え、電場の1つの成分を $E(\bm{r},t)=\operatorname{Re}[U(\bm{r})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]$ と書く（この巻の流儀で時間の因子は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$）。偏光の向きを忘れて1つの成分だけを扱う近似をスカラー近似と呼び、7.5節でその範囲を述べる。一様な媒質の中で $U$ は Helmholtz 方程式

$$\nabla^2U+k^2U=0,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda}\tag{7.1}$$

を満たす（$\lambda$ は媒質の中の波長）。光が全体として進む向きを $z$ 軸にとり、光軸に垂直な面の中の位置を $\bm{x}=(x,y)$、それに共役な波数を $\bm{K}=(K_x,K_y)$ と書く。横の面の Fourier 変換をこの巻の流儀（$2\pi$ を逆変換の側に置く）で

$$U(\bm{x},z)=\int\frac{\mathrm{d}^2K}{(2\pi)^2}\,\tilde U(\bm{K},z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{K}\cdot\bm{x}},\qquad \tilde U(\bm{K},z)=\int\mathrm{d}^2x\,U(\bm{x},z)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{K}\cdot\bm{x}}\tag{7.2}$$

と定める。式 (7.1) に入れると $\partial_z^2\tilde U+(k^2-\lvert \bm{K}\rvert ^2)\tilde U=0$ となり、$+z$ の向きに進む解は

$$\tilde U(\bm{K},z)=H_z(\bm{K})\,\tilde U(\bm{K},0),\qquad H_z(\bm{K})=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz},\qquad k_z=\sqrt{k^2-\lvert \bm{K}\rvert ^2}\tag{7.3}$$

である。これは第6章で角スペクトルの表示として導いた式で、$\lvert \bm{K}\rvert >k$ の成分は $k_z$ が虚数になって $z$ とともに指数関数的に減衰するエバネッセント波だった。

式 (7.3) によれば、横の波数 $\bm{K}$ を持つ平面波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{K}\cdot\bm{x}+k_zz)}$ は自由空間の伝搬で互いに混ざらず、それぞれ位相 $k_zz$ を受け取るだけである。量子力学で自由粒子の Hamiltonian が運動量の表示で対角になり、各運動量の成分が $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_pt/\hbar}$ を受け取るだけになるのと同じ構造で、この章では横の平面波をモードと呼ぶ。平面波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{K}\cdot\bm{x}}$ は光軸と角度 $\theta$ をなして進む光で、$\lvert \bm{K}\rvert =k\sin\theta$ である。伝搬が線形で、しかも横の平行移動で変わらない（$\bm{x}$ をずらしても同じ操作になる）ことが、平面波で対角になる理由である。

光軸からの傾きが小さい成分（$\lvert \bm{K}\rvert \ll k$）だけを持つ場では、$k_z\approx k-\lvert \bm{K}\rvert ^2/(2k)$ と展開して

$$H_z(\bm{K})\approx\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lvert \bm{K}\rvert ^2z/(2k)}\tag{7.4}$$

とおける。これを Fresnel 近似（近軸近似）と呼ぶ。式 (7.4) を逆変換すると、実空間での伝搬は Fresnel の核との畳み込み

$$U(\bm{x},z)=\int\mathrm{d}^2x'\,h_z(\bm{x}-\bm{x}')\,U(\bm{x}',0),\qquad h_z(\bm{x})=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}}{\mathrm{i}\lambda z}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i} k\lvert \bm{x}\rvert ^2}{2z}\Bigr)\tag{7.5}$$

になる（$h_z$ の Fourier 変換が式 (7.4) になることは Gauss 積分で確かめられる）。第4章（第4章）で見たとおり、式 (7.4) は2次元の自由な Schrödinger 方程式の時間発展で、$z$ が時間、$1/k$ が $\hbar/m$ の役をしている。

物質のモデル：薄い物体とレンズ

光が厚さの無視できる物体を通ると、物体の各点で振幅と位相が変わる。この変化を透過率 $t(\bm{x})$（複素数）で

$$U_{\mathrm{out}}(\bm{x})=t(\bm{x})\,U_{\mathrm{in}}(\bm{x})\tag{7.6}$$

と書くモデルを薄い物体の近似と呼ぶ。吸収だけの物体では $t$ は実数で $0\le t\le1$、屈折率 $n$、厚さ $\Delta(\bm{x})$ の透明な板では、その点を通る光が受け取る光路長から$t(\bm{x})=\exp\{\mathrm{i} k_0[n\Delta(\bm{x})+(\Delta_0-\Delta(\bm{x}))]\}$ となる（$k_0$ は空気中の波数、$\Delta_0$ は板の最大の厚さで、残りは空気の中を進む）。

式 (7.6) は実空間で対角だが、波数の表示では畳み込み

$$\tilde U_{\mathrm{out}}(\bm{K})=\int\frac{\mathrm{d}^2K'}{(2\pi)^2}\,\tilde t(\bm{K}-\bm{K}')\,\tilde U_{\mathrm{in}}(\bm{K}')\tag{7.7}$$

になる。波数 $\bm{K}'$ の平面波が物体に当たると、物体が持つ空間周波数 $\bm{K}-\bm{K}'$ の分だけ向きを変えた平面波が出る。物体はモードどうしを混ぜる結合の役をする。自由空間（波数の表示で対角）と物体（実空間で対角）の2つの操作を交互に当てることが、以下の計算のすべてである。

薄いレンズは、厚さが光軸からの距離の2次式で減る透明な板である。平凸レンズの凸面の曲率半径を $R$ とすると、近軸では厚さが $\Delta(\bm{x})=\Delta_0-\lvert \bm{x}\rvert ^2/(2R)$ で、上の透過率に入れると定数の位相を除いて

$$t_{\mathrm L}(\bm{x})=\exp\Bigl(-\frac{\mathrm{i} k\lvert \bm{x}\rvert ^2}{2f}\Bigr),\qquad \frac1f=\frac{n-1}{R}\tag{7.8}$$

となる（$k$ は空気中の波数）。$f$ はレンズの焦点距離で、両凸のレンズでは2つの面の寄与 $(n-1)/R$ を足せばよい。式 (7.8) の位相は、位置 $\bm{x}$ での傾き $-k\bm{x}/f$ を平面波に足す。光軸に平行に入った光線は高さ $\lvert \bm{x}\rvert$ に比例して内側へ曲げられ、距離 $f$ で光軸に集まる。時間の因子を $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ に選んだので、位相が中心から外へ向かって減る（式 (7.8) の負の符号）ことが、焦点へ向かって収束する球面波を表している。