当てる道具：レンズは Fourier 変換器

光学と量子エレクトロニクス　第7章 §7.2　★★★ レンズの前の焦点面の場と後ろの焦点面の場は Fourier 変換で結ばれる。ABCD 行列で $A=0$ の系がちょうどこの性質を持つ

レンズの Fourier 変換の定理

レンズの前方の距離 $d$ の面に場 $U_1(\bm{x})$ があり、それが自由空間を $d$ だけ進み、焦点距離 $f$ の薄いレンズを通り、さらに $f$ だけ進んで後ろの焦点面に着いたときの場 $U_f(\bm{u})$ を求める（$\bm{u}$ は後ろの焦点面の中の位置）。

証明

レンズの直前の場を $U_-$ とすると、式 (7.3) と (7.4) から $\tilde U_-(\bm{K})=\mathrm{e}^{\mathrm{i} kd}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lvert \bm{K}\rvert ^2d/(2k)}\tilde U_1(\bm{K})$ である。レンズの直後の場 $t_{\mathrm L}U_-$ を Fresnel の核 (7.5) で $f$ だけ進めると

$$U_f(\bm{u})=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kf}}{\mathrm{i}\lambda f}\int\mathrm{d}^2x\,\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} k\lvert \bm{u}-\bm{x}\rvert ^2}{2f}-\frac{\mathrm{i} k\lvert \bm{x}\rvert ^2}{2f}\Bigr]U_-(\bm{x}) =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kf}}{\mathrm{i}\lambda f}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\lvert \bm{u}\rvert ^2/(2f)}\int\mathrm{d}^2x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\bm{u}\cdot\bm{x}/f}\,U_-(\bm{x}).$$

指数の中の $\lvert \bm{x}\rvert ^2$ の項は、伝搬の核の分とレンズの分が打ち消し合って消えた。残った積分は $\tilde U_-$ を $\bm{K}=k\bm{u}/f$ で読んだもので、

$$U_f(\bm{u})=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kf}}{\mathrm{i}\lambda f}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\lvert \bm{u}\rvert ^2/(2f)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kd}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\lvert \bm{u}\rvert ^2d/(2f^2)}\,\tilde U_1\Bigl(\frac{k\bm{u}}{f}\Bigr)$$

となる。2つの2次の位相をまとめると式 (7.9) を得る。

式 (7.9) の対応 $\bm{K}=k\bm{u}/f$ は、幾何光学の言葉では次のことを言っている。物体から角度 $\theta$ の向きに出た平面波の成分（$\lvert \bm{K}\rvert =k\sin\theta$）は、レンズを通ると焦点面の1点 $\lvert \bm{u}\rvert =f\sin\theta$ に集まる（近軸では $f\theta$）。平行な光線の束がレンズの焦点面の1点に集まることを、波の言葉で書くと、平面波のモードが焦点面の点に1対1で対応する、という形になる。焦点面の強度 $\lvert U_f\rvert ^2$ は $\lvert \tilde U_1\rvert ^2$ に比例するので、$d$ によらず物体の空間周波数の分布（パワースペクトル）を表す。$d$ によって変わるのは焦点面の位相だけである。第6章の Fraunhofer 回折は、レンズを置かずに距離 $z\to\infty$ で同じ $\lvert \tilde U_1\rvert ^2$ を見たもので、レンズはその無限遠を距離 $f$ に持ってくる。

例として、幅 $b=0.1\,\mathrm{mm}$ のスリットを前の焦点面に置き、$\lambda=633\,\mathrm{nm}$、$f=200\,\mathrm{mm}$ のレンズの後ろの焦点面を見る。スリットの Fourier 変換は $b\,\mathrm{sinc}$ 型で、最初の零は $K_xb/2=\pi$、すなわち $u=\lambda f/b=1.27\,\mathrm{mm}$ にある。狭いスリットほど焦点面の像が広がる関係は、Fourier 変換の幅の反比例そのものである。

ABCD 行列で見る：$A=0$ の系

第2章（第2章）の光線行列で、距離 $d$ の伝搬・焦点距離 $f$ のレンズ・距離 $f$ の伝搬を順に掛けると

$$\begin{pmatrix}1&f\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&f\\-1/f&1-d/f\end{pmatrix}\tag{7.10}$$

となる。左上の成分 $A=0$ は、焦点面での光線の位置が入口での位置によらず、入口での傾きだけで決まる（位置と傾きを入れ替える）ことを表す。近軸の光学系を通した場の変換は、ABCD 行列だけで

$$U_2(\bm{x}_2)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kL}}{\mathrm{i}\lambda B}\int\mathrm{d}^2x_1\,\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} k}{2B}\bigl(A\lvert \bm{x}_1\rvert ^2-2\bm{x}_1\cdot\bm{x}_2+D\lvert \bm{x}_2\rvert ^2\bigr)\Bigr]U_1(\bm{x}_1)\tag{7.11}$$

と書けることが知られている（$L$ は光軸に沿った光路長。S. A. Collins, Jr. (1970), J. Opt. Soc. Am. 60, 1168）。式 (7.10) の $A=0$、$B=f$、$D=1-d/f$ を入れると、$\lvert \bm{x}_1\rvert ^2$ の項が消えて式 (7.9) が再び出る。$A=0$ の系がどれも Fourier 変換器になるのはこのためで、たとえば第3章の放物型の屈折率の棒レンズを $1/4$ ピッチの長さで切ったもの（$A=D=0$）も、焦点距離 $1/(n_0\alpha)$ のレンズと同じ Fourier 変換を行う。

Fourier 変換で形の変わらないモード

放物型の媒質の中の伝搬は、第4章で見たとおり2次元の調和振動子の時間発展と同じ形をしている。調和振動子の $1/4$ 周期の時間発展は、位置の表示と運動量の表示を入れ替える。したがって調和振動子の固有関数である Hermite–Gauss 関数は、Fourier 変換で形を変えないはずである。実際、

$$\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}\xi\,H_m(\xi)\,\mathrm{e}^{-\xi^2/2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\kappa\xi}=\sqrt{2\pi}\,(-\mathrm{i})^mH_m(\kappa)\,\mathrm{e}^{-\kappa^2/2}\tag{7.12}$$

が成り立つ（$H_m$ は Hermite 多項式）。ビーム半径 $w_0$ の Hermite–Gauss ビーム $U_1=H_m(\sqrt2x/w_0)H_l(\sqrt2y/w_0)\mathrm{e}^{-\lvert \bm{x}\rvert ^2/w_0^2}$ を前の焦点面に置き、式 (7.9) に入れると、後ろの焦点面の場は再び Hermite–Gauss 型になり、その半径は $\lambda f/(\pi w_0)$ である。半径が $w_0^2=\lambda f/\pi$ を満たすときは前後の半径が等しく、

$$U_f(\bm{u})=\mathrm{e}^{2\mathrm{i} kf}\,(-\mathrm{i})^{m+l+1}\,U_1(\bm{u})\qquad\Bigl(w_0^2=\frac{\lambda f}{\pi}\Bigr)\tag{7.13}$$

となる。前の焦点面から後ろの焦点面までの伝搬は、ビームのくびれから遠方までの伝搬を距離 $f$ に縮めたものなので、位相 $(m+l+1)\pi/2$ は第4章の式 (4.24) の Gouy 位相 $(m+l+1)\psi_{\mathrm G}$ のうち、くびれから遠方までの分（$\psi_{\mathrm G}$ が $0$ から $\pi/2$ まで進む分）に等しい。