出てくるもの1：2次の Hamiltonian では古典解がそのまま演算子の解

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第3章 §4.3.3　★★★ $\hat H$ が $\hat q$, $\hat p$ の2次式までなら Heisenberg 方程式は線形で、古典の解の式に初期値の演算子を入れたものが解になる。期待値と分散は古典の集団と同じ式で動く

線形の方程式は古典と同じ解を持つ

$\hat H$ が $\hat q$, $\hat p$ の2次式（1次式と定数を含む）のとき、交換子 $[\hat q,\hat H]$, $[\hat p,\hat H]$ は $\hat q$, $\hat p$ の1次式と定数になる。したがって Heisenberg 方程式は $\hat q_{\mathrm H}$, $\hat p_{\mathrm H}$ についての線形の常微分方程式で、係数は数である。古典の Hamilton 方程式も同じ係数を持つ同じ線形方程式なので、古典の解を

$$\begin{pmatrix}q(t)\\p(t)\end{pmatrix}=M(t)\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_q(t)\\c_p(t)\end{pmatrix}$$

と書いたとき（$M(t)$ は $2\times2$ の行列、$c_q$, $c_p$ は外力などに由来する数の項）、量子の解は初期値を演算子に替えた

$$\begin{pmatrix}\hat q_{\mathrm H}(t)\\\hat p_{\mathrm H}(t)\end{pmatrix}=M(t)\begin{pmatrix}\hat q\\\hat p\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_q(t)\\c_p(t)\end{pmatrix}\tag{4.3.10}$$

である。右辺を左辺の方程式に代入すると、係数が数なので演算子の積の順番の問題が起きず、古典の場合と同じ計算でそのまま成り立つ。第4部第1章で問題にした「積の順序」は、方程式の右辺が2次以上の項を含むときにだけ現れる。

調和振動子 $\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac12m\omega^2\hat q^2$ では、Heisenberg 方程式 $\dot{\hat q}_{\mathrm H}=\hat p_{\mathrm H}/m$, $\dot{\hat p}_{\mathrm H}=-m\omega^2\hat q_{\mathrm H}$ の解が

$$\hat q_{\mathrm H}(t)=\hat q\cos\omega t+\frac{\hat p}{m\omega}\sin\omega t,\qquad \hat p_{\mathrm H}(t)=-m\omega\hat q\sin\omega t+\hat p\cos\omega t\tag{4.3.11}$$

になる。$M(t)$ は相空間の（目盛りを $m\omega$ で揃えた）回転で、行列式は $\cos^2\omega t+\sin^2\omega t=1$ である。式 (4.3.8) の交換子が保たれることは、この行列式が $1$ であることに当たる。消滅演算子 $\hat a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\bigl(\hat q+\frac{\mathrm{i}\hat p}{m\omega}\bigr)$ で書くと、式 (4.3.11) は $\hat a_{\mathrm H}(t)=\hat a\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ という1行にまとまる。古典の複素振幅 $\sqrt{m\omega/2}\,\bigl(q+\mathrm{i} p/(m\omega)\bigr)$ も同じく $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ で回り、その絶対値の2乗が作用変数 $J=E/\omega$ である（第1部第14章）。この対応から出るエネルギー準位は 第4部第4章で扱う。

分散も古典の集団と同じ式で動く

式 (4.3.10) の両辺の期待値をとると、平均値 $\langle \hat q_{\mathrm H} \rangle$, $\langle \hat p_{\mathrm H} \rangle$ は古典の軌道と同じ式で動く。2次の量も同じで、自由粒子 $\hat q_{\mathrm H}=\hat q+\hat pt/m$ の分散は、積の順番に注意して展開すると

$$(\Delta q(t))^2=(\Delta q)^2+\frac{t}{m}C_{qp}+\frac{t^2}{m^2}(\Delta p)^2,\qquad C_{qp}\coloneqq\langle \hat q\hat p+\hat p\hat q \rangle -2\langle \hat q \rangle \langle \hat p \rangle\tag{4.3.12}$$

である。$\Delta$ は時刻 $0$ の標準偏差、$C_{qp}$ は位置と運動量の相関を対称に並べたもの（古典の共分散の2倍に当たる）である。古典の点の集団を、同じ平均・分散・共分散で用意して自由運動させても、$q(t)=q+pt/m$ の分散はまったく同じ式 (4.3.12) で動く。線形の写像で運ばれる分布の分散は、写像の係数と初期の2次の量だけで決まるからである。

量子力学が付け加えるのは、初期の分散に課される制限、すなわち不確定性関係 $\Delta q\,\Delta p\ge\hbar/2$ だけである。等号の成り立つ Gauss 波束（$\Delta q=\sigma$, $\Delta p=\hbar/(2\sigma)$, $C_{qp}=0$）を式 (4.3.12) に入れると、第4部第2章の式 (4.2.19) の波束の広がり

$$\Delta q(t)=\sigma\sqrt{1+\Bigl(\frac{t}{\tau}\Bigr)^2},\qquad \tau\coloneqq\frac{2m\sigma^2}{\hbar}\tag{4.3.13}$$

が出る。第2章ではこの式を期待値のモーメントの方程式から出した。ここでは Heisenberg の解 $\hat q_{\mathrm H}=\hat q+\hat pt/m$ の分散を、古典の集団の分散と同じ1行の計算で出したことになる。時間 $\tau$ より後は $\Delta q(t)\approx\sigma t/\tau=\Delta p\,t/m$ で、運動量のばらつき $\Delta p$ を持つ粒子の集団が速度の差で散らばっていく広がりそのものである。位置を細かく絞った波束（小さい $\sigma$）ほど $\Delta p$ が大きく、早く広がる。