出てくるもの2：Ehrenfest の定理と古典極限

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第3章 §4.3.4　★★★ 期待値は $\frac{\mathrm{d} \langle \hat p \rangle }{\mathrm{d} t}=-\langle V'(\hat q) \rangle$ に従い、$\langle V'(\hat q) \rangle \neq V'(\langle \hat q \rangle )$ の分だけ古典の軌道からずれる

期待値の運動方程式

式 (4.3.7) の期待値をとると、第4部第1章の式 (4.1.18) の Ehrenfest の定理

$$\frac{\mathrm{d} \langle \hat q \rangle }{\mathrm{d} t}=\frac{\langle \hat p \rangle }{m},\qquad \frac{\mathrm{d} \langle \hat p \rangle }{\mathrm{d} t}=-\langle V'(\hat q) \rangle\tag{4.3.14}$$

がそのまま出る。期待値は Heisenberg 描像の演算子を時刻 $0$ の状態で平均したもので、どちらの描像で計算しても同じである（式 (4.3.3)）。

この2本は、古典の Hamilton 方程式と似ているが、閉じた方程式になっていない。右辺の $\langle V'(\hat q) \rangle$ は分布全体の平均で、$\langle \hat q \rangle$ だけの関数ではないからである。$\langle V'(\hat q) \rangle =V'(\langle \hat q \rangle )$ が成り立つのは、$V'$ が1次式のとき、すなわち $V$ が2次式までのときに限られ、これは 4.3.3節の場合である。それ以外では、平均のまわりで展開すると、$\mu\coloneqq\langle \hat q \rangle$ として

$$\langle V'(\hat q) \rangle =V'(\mu)+\frac12V'''(\mu)\,(\Delta q)^2+\frac16V''''(\mu)\langle (\hat q-\mu)^3 \rangle +\cdots\tag{4.3.15}$$

となる（1次の項は $\langle \hat q-\mu \rangle =0$ で消える）。第2項以降が、古典の力 $-V'(\mu)$ からのずれである。ずれが小さいのは、波束の幅 $\Delta q$ が、力 $V'$ の傾きが変わる長さに比べて十分小さいときである。

4次のポテンシャルでの数値計算

ずれがどう育つかを、$V(q)=q^4/4$（$m=1$、長さと時間の単位を適当に選んだ無次元の量）で確かめる。初期状態は中心 $q=1$、幅 $\sigma=0.1$、平均運動量 $0$ の最小不確定の Gauss 波束とし、$\hbar=0.01$ とする（運動量の幅は $\hbar/(2\sigma)=0.05$）。Schrödinger 方程式を数値で解いて $\langle \hat q \rangle$ を求め、同じ初期値 $q=1$, $p=0$ の古典の軌道と比べたのが図 4.3.3 である。古典の周期は振幅 $1$ で $4\sqrt2\int_0^1\mathrm{d} x/\sqrt{1-x^4}=7.42$ である。

図 4.3.3　$V=q^4/4$ での位置の期待値 $\langle \hat q \rangle$（青の点線＝Schrödinger 方程式の数値解）、同じ初期値の古典の軌道 $q(t)$（赤の細い実線）、同じ平均と分散を持つ古典の点の集団の平均（灰の太い実線、6000 点）。量子の期待値は1本の古典の軌道から1周期のうちに離れていくが、古典の集団の平均とは図の範囲で $0.021$ 以内で重なる。同じ系の $\langle \hat q \rangle$ の時間変化は第4部第2章の図 4.2.2。ここでは古典の集団の平均と比べる

図から3つのことが読み取れる。1つ目に、最初の4分の1周期ほどは $\langle \hat q \rangle$ と古典の軌道はほぼ重なる。2つ目に、そのあと $\langle \hat q \rangle$ の振動の振幅は小さくなっていき、3周期ほどで $0.2$ を下回る。1本の古典の軌道は振幅 $1$ のまま振動を続ける。3つ目に、古典の点の集団の平均（灰の線）は、量子の期待値とほとんど同じ曲線を描く。

3つ目が要点である。4次のポテンシャルでは振幅の大きい軌道ほど周期が短い（周期は振幅に反比例する）。初期の幅 $\sigma=0.1$ の中に振幅の少しずつ違う軌道が混ざっていて、周期がずれた軌道どうしの位相がばらけるので、平均の振動が消えていく。この減衰は古典の集団でも同じように起き、量子力学に固有の現象ではない。数値計算では、Ehrenfest の定理 (4.3.14) の $\frac{\mathrm{d} \langle \hat p \rangle }{\mathrm{d} t}=-\langle \hat q^3 \rangle$ は差 $2\times10^{-3}$ 以内で成り立ち、古典の力を平均の位置で評価した $-\langle \hat q \rangle ^3$ とは $t=10$ 付近で $0.29$ 違う。古典の軌道からのずれは、式 (4.3.15) の補正項で表される「分布の広がりの分だけ力の平均が変わる」効果である。

このように、Heisenberg 描像で古典の軌道に近い振る舞いが得られるのは、波束の幅が狭いあいだに限られる。幅が狭く保たれる時間は、$\hbar$ が小さいほど長い。一方、分布の広がりを含めた比較の相手としては、1本の軌道より、同じ初期分布を持つ Liouville の集団（4.3.1節の右の列）の方がはるかに長い時間にわたって量子の期待値に近い。