出てくるもの：期待値は Hamilton 方程式に従う

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第2章 §4.2.4　★★★ $\frac{\mathrm{d} \langle \hat q \rangle }{\mathrm{d} t}=\langle \hat p \rangle /m$、$\frac{\mathrm{d} \langle \hat p \rangle }{\mathrm{d} t}=-\langle V'(\hat q) \rangle$。$\langle V'(\hat q) \rangle$ と $V'(\langle \hat q \rangle )$ の差が古典からのずれになる

期待値の運動方程式

観測量 $\hat A$（時刻を陽に含まないもの）の期待値 $\langle \hat A \rangle =\langle \psi | \hat A | \psi \rangle$ を時間で微分し、式 (4.2.4) とその共役を使うと

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat A \rangle =\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\langle \left[\hat A,\,\hat H\right] \rangle\tag{4.2.15}$$

を得る。古典の $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}$（第1部第11章）で、Poisson 括弧を $\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ に替え、両辺の期待値を取った形である。$\hat A=\hat q$ と $\hat A=\hat p$ について交換子を計算する。式 (4.2.2) から $\left[\hat q,\,\hat p^2\right]=\hat p\left[\hat q,\,\hat p\right]+\left[\hat q,\,\hat p\right]\hat p=2\mathrm{i}\hbar\hat p$、位置表示で $\left[\hat p,\,V(\hat q)\right]f=-\mathrm{i}\hbar\bigl((Vf)'-Vf'\bigr)=-\mathrm{i}\hbar V'(q)f$ なので

$$\left[\hat q,\,\hat H\right]=\frac{\mathrm{i}\hbar}{m}\hat p,\qquad \left[\hat p,\,\hat H\right]=-\mathrm{i}\hbar\,V'(\hat q)$$

となり、

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat q \rangle =\frac{\langle \hat p \rangle }{m},\qquad \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat p \rangle =-\langle V'(\hat q) \rangle\tag{4.2.16}$$

となる。これは第4部第1章の式 (4.1.18) で出した Ehrenfest の定理で、式 (4.2.15) に $\hat A=\hat q,\hat p$ を入れるだけで1行で出る。古典の Hamilton 方程式 $\dot q=\partial H/\partial p=p/m$, $\dot p=-\partial H/\partial q=-V'(q)$ と、形がほとんど同じである。$\hat A=\hat H$ とおけば $\left[\hat H,\,\hat H\right]=0$ なので $\langle \hat H \rangle$ は時間に依らない。古典の $\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=\{H,H\}=0$ の量子版である。

古典の運動とのずれ

式 (4.2.16) の2本目の右辺は $\langle V'(\hat q) \rangle$ で、$V'(\langle \hat q \rangle )$ ではない。両者が等しければ、$\langle \hat q \rangle$ と $\langle \hat p \rangle$ は古典の Hamilton 方程式そのものに従う。平均 $\bar q=\langle \hat q \rangle$ のまわりで $V'$ を Taylor 展開し、$\langle \hat q-\bar q \rangle =0$ を使うと

$$\langle V'(\hat q) \rangle =V'(\bar q)+\frac12V'''(\bar q)\,\sigma^2+\mathcal{O}(\sigma^3),\qquad \sigma^2=\langle (\hat q-\bar q)^2 \rangle\tag{4.2.17}$$

となる。ずれは波束の幅の2乗とポテンシャルの3階微分の積で決まる。$V$ が $q$ の2次式以下（自由粒子・一様な力・調和振動子）なら $V'''=0$ で、式 (4.2.16) は $\bar q$ について古典の運動方程式と厳密に同じになる。それ以外では、波束の幅 $\sigma$ が、ポテンシャルの力が変わる長さ $\lvert V'/V'''\rvert ^{1/2}$ に比べて小さい間だけ、期待値は古典の軌道に近い。

図 4.2.2 は、4次のポテンシャル $V=\lambda q^4/4$ の中で、静止した Gauss 波束を $q=2$ から放したときの $\langle \hat q \rangle (t)$ を、式 (4.2.6) を数値で解いて求めたものである。単位を $m=\lambda=1$ に取り、$\hbar$ を無次元の数 $\tilde\hbar$ として変えた。初めの幅は $\sigma_0^2=\tilde\hbar/2$ とした。$\tilde\hbar=0.02$ では1周期の間は古典の軌道と $0.01$ 程度で重なるが、$\tilde\hbar=0.5$ では1周目から遅れ、$t\approx7$ 以降は振動がほぼ消える。4次のポテンシャルでは振幅が大きいほど周期が短く（古典の周期は $E^{-1/4}$ に比例）、波束の各部分が異なる周期で回るため、波束がエネルギーの方向に広がった分だけ位相がそろわなくなる。これは波束の広がりによる平均のずれで、$\tilde\hbar$ が小さいほど遅く起きるが、$\tilde\hbar=0.02$ でも $t=11$ では古典の振幅の6割まで減っている。

図 4.2.2　4次のポテンシャル $V=q^4/4$（$m=1$）の中で、$q=2$ に静止させた幅 $\sigma_0=\sqrt{\tilde\hbar/2}$ の Gauss 波束の $\langle \hat q \rangle (t)$。点線は Schrödinger 方程式の数値解（厳密）、実線は同じ初期値の古典の軌道（$\tilde\hbar\to0$ の近似）。数値解では全確率と $\langle \hat H \rangle$ が保たれていることも確かめた。古典の集団の平均との比較は第4部第3章の図で行う