出てくるもの：波束の広がりと相空間の集団

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第2章 §4.2.5　★★ $H$ が2次式なら、位置と運動量の2次のモーメントの方程式が閉じ、古典の相空間の集団とまったく同じ式に従う。波束の広がりは「運動量のばらつき×時間」

2次のモーメントの方程式

4.2.4節の計算を、$\hat q^2$・$\hat q\hat p+\hat p\hat q$・$\hat p^2$ の期待値に広げる。調和振動子 $\hat H=\hat p^2/(2m)+m\omega^2\hat q^2/2$ について、式 (4.2.15) の交換子を計算すると

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat q^2 \rangle =\frac{\langle \hat q\hat p+\hat p\hat q \rangle }{m},\quad \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat q\hat p+\hat p\hat q \rangle =\frac{2\langle \hat p^2 \rangle }{m}-2m\omega^2\langle \hat q^2 \rangle ,\quad \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat p^2 \rangle =-m\omega^2\langle \hat q\hat p+\hat p\hat q \rangle\tag{4.2.18}$$

となる（$\omega=0$ が自由粒子）。右辺には同じ3つの量しか現れないので、この3本だけで閉じた連立方程式になる。

古典の側では、相空間に点の集団（確率密度 $\rho(q,p,t)$）を置き、各点を Hamilton 方程式で動かす。集団の平均 $\langle q^2 \rangle$, $\langle 2qp \rangle$, $\langle p^2 \rangle$ を時間で微分すると、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}q^2=2q\dot q=2qp/m$ などから式 (4.2.18) と同じ3本が出る（$\hat q\hat p+\hat p\hat q$ が古典の $2qp$ にあたる）。したがって、$H$ が2次式なら、量子の波束の2次のモーメントは、同じ初期の平均と分散を持つ古典の集団のモーメントと、すべての時刻で一致する。$H$ が3次以上の項を含むと、式 (4.2.18) の右辺に3次以上のモーメントが入り、さらにその式に4次のモーメントが入る、という形で連鎖して閉じない。量子と古典の違いは、この連鎖の中の $\hbar$ を含む項から現れる。

自由粒子の波束

自由粒子（$\omega=0$）で、時刻 $0$ に実数の Gauss 波束

$$\psi(q,0)=(2\pi\sigma_0^2)^{-1/4}\exp\Bigl(-\frac{q^2}{4\sigma_0^2}\Bigr)$$

を置く。この波束では $\langle \hat q^2 \rangle =\sigma_0^2$、$\langle \hat q\hat p+\hat p\hat q \rangle =0$（$\psi$ が実数なので）、$\langle \hat p^2 \rangle =\hbar^2/(4\sigma_0^2)$ である。式 (4.2.18) を $\omega=0$ で解くと $\langle \hat p^2 \rangle$ は一定、$\langle \hat q\hat p+\hat p\hat q \rangle =2\langle \hat p^2 \rangle t/m$ で、

$$\sigma(t)^2=\sigma_0^2+\Bigl(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0}\Bigr)^2=\sigma_0^2\Bigl(1+\frac{t^2}{\tau^2}\Bigr),\qquad \tau=\frac{2m\sigma_0^2}{\hbar}\tag{4.2.19}$$

を得る。実際、$\psi(q,t)=(2\pi\sigma_0^2)^{-1/4}(1+\mathrm{i} t/\tau)^{-1/2}\exp\bigl(-q^2/(4\sigma_0^2(1+\mathrm{i} t/\tau))\bigr)$ は式 (4.2.6) を満たし、その $\lvert \psi\rvert ^2$ の分散は式 (4.2.19) になる。

古典の集団で読むと、初めの位置のばらつき $\sigma_0$ と運動量のばらつき $\sigma_p=\hbar/(2\sigma_0)$ が独立なとき、$q(t)=q_0+p_0t/m$ の分散は $\sigma_0^2+(\sigma_pt/m)^2$ で、式 (4.2.19) と同じである（図 4.2.3）。波束が広がるのは、運動量のばらつきを持つ粒子の集団が、速い粒子ほど遠くまで進むためである。量子力学に固有なのは $\sigma_p$ の大きさだけで、最小の運動量のばらつきは、不確定性関係 $\sigma_0\sigma_p\ge\hbar/2$ の等号で決まる。狭い波束ほど $\sigma_p$ が大きいので速く広がり、$\tau$ は $\sigma_0^2$ に比例する。

調和振動子（$\omega\ne0$）では、同じ初期条件から式 (4.2.18) を解いて

$$\sigma(t)^2=\sigma_0^2\cos^2\omega t+\Bigl(\frac{\sigma_p}{m\omega}\Bigr)^2\sin^2\omega t$$

となる。古典の集団では、相空間の楕円の分布が角振動数 $\omega$ で回転し、$q$ 軸への影の幅が変わることに対応する。$\sigma_p=m\omega\sigma_0$ なら幅は変わらない（総合問題）。この場合、波束の中心は式 (4.2.16) により古典の軌道を厳密にたどり、形を保ったまま振動する。時間発展の写像 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ を、古典の流れ $\phi_t$（第1部第12章）を状態の空間に移したものとして見たとき、2次の $H$ では両者が「平均と分散」の水準で完全に重なる。