当てる道具：括弧の時間発展と Lie 級数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第3章 §4.3.2　★★★ Heisenberg 方程式 $\frac{\mathrm{d} \hat A_{\mathrm H}}{\mathrm{d} t}=[\hat A_{\mathrm H},\hat H]/(\mathrm{i}\hbar)$ は、Schrödinger 方程式から導かれる恒等式で、古典の $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}$ と同じ形をしている

Heisenberg 方程式

定義 (4.3.2) を時刻で微分する。$\frac{\mathrm{d} \hat U}{\mathrm{d} t}=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat H\hat U$、$\frac{\mathrm{d} \hat U^\dagger}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat U^\dagger\hat H$ で、$\hat H$ と $\hat U$ は交換するので

$$\frac{\mathrm{d} \hat A_{\mathrm H}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat U^\dagger\hat H\hat A\hat U-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat U^\dagger\hat A\hat H\hat U =\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\hat U^\dagger[\hat A,\hat H]\hat U$$

となる。右辺の $\hat U^\dagger[\hat A,\hat H]\hat U$ は、間に $\hat U\hat U^\dagger=1$ を挟むと $[\hat A_{\mathrm H},\hat H_{\mathrm H}]$ に等しく、$\hat H_{\mathrm H}=\hat U^\dagger\hat H\hat U=\hat H$ である。

第1部第11章の時間発展の式 $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}+\frac{\partial A}{\partial t}$ と並べると、Poisson 括弧 $\{\cdot,\cdot\}$ を $[\cdot,\cdot]/(\mathrm{i}\hbar)$ に置き換えたものになっている。第1部第11章ではこの置き換えを、2つの理論を並べたときに見える対応として述べた。この章では、式 (4.3.5) は Schrödinger 方程式を微分しただけの恒等式であり、対応は「量子力学の時間発展が、交換子を生成子の演算にした第1部の形そのものである」ことの結果として出てくる。第1部第9章の言葉では、Hamiltonian $\hat H$ が時間発展の生成子で、$\hat U(\mathrm{d} t)=1-\mathrm{i}\hat H\mathrm{d} t/\hbar$ による無限小の変化が $\delta\hat A=\mathrm{d} t\,[\hat A,\hat H]/(\mathrm{i}\hbar)$ である。すなわち式 (4.3.5) は、第1部第9章の式 (1.9.23)（量子の生成子で動かす）で $\hat G=\hat H$ としたものであり、その期待値をとった形は第4部第2章の式 (4.2.15) である。

演算子の関数は Heisenberg 演算子の関数

Heisenberg 描像の演算子どうしの積は、積の Heisenberg 演算子に等しい。$\hat U^\dagger\hat A\hat B\hat U=\hat U^\dagger\hat A\hat U\,\hat U^\dagger\hat B\hat U=\hat A_{\mathrm H}\hat B_{\mathrm H}$ だからである。繰り返せば、$\hat q$, $\hat p$ の多項式（さらに冪級数）$f(\hat q,\hat p)$ について $f(\hat q,\hat p)_{\mathrm H}=f(\hat q_{\mathrm H},\hat p_{\mathrm H})$ が成り立つ。とくに $\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat q)$ は $\hat H=\frac{\hat p_{\mathrm H}(t)^2}{2m}+V(\hat q_{\mathrm H}(t))$ と書くこともできる。

$\hat q$ と $\hat p$ の Heisenberg 方程式を書くには、$\hat H$ との交換子が要る。正準交換関係 $[\hat q,\hat p]=\mathrm{i}\hbar$（第4部第1章）と、位置表示 $\hat p=-\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} q}$ を使うと

$$\Bigl[\hat q,\frac{\hat p^2}{2m}\Bigr]=\frac{\mathrm{i}\hbar}{m}\hat p,\qquad [\hat p,V(\hat q)]=-\mathrm{i}\hbar\,V'(\hat q)\tag{4.3.6}$$

である。左は Leibniz 則 $[\hat q,\hat p^2]=\hat p[\hat q,\hat p]+[\hat q,\hat p]\hat p=2\mathrm{i}\hbar\hat p$ から、右は関数 $\psi(q)$ に当てて$-\mathrm{i}\hbar\bigl((V\psi)'-V\psi'\bigr)=-\mathrm{i}\hbar V'\psi$ となることから出る。これを式 (4.3.5) に入れて、$\hat U^\dagger\cdots\hat U$ で挟んだものを書けば次を得る。

これは古典の Hamilton 方程式 $\dot q=\frac{\partial H}{\partial p}=p/m$, $\dot p=-\frac{\partial H}{\partial q}=-V'(q)$（第1部第8章）に帽子を付けた式である。古典の式と違うのは、未知数が数でなく演算子であることだけである。

同じ時刻の交換関係は保たれる：ユニタリ変換は正準変換

時刻 $t$ の位置と運動量の交換子は

$$[\hat q_{\mathrm H}(t),\hat p_{\mathrm H}(t)]=\hat U^\dagger[\hat q,\hat p]\hat U=\mathrm{i}\hbar\tag{4.3.8}$$

で、時刻 $0$ の値のまま変わらない。古典の側では、第1部第12章で、Hamilton の流れ $(q,p)\mapsto(q(t),p(t))$ が正準変換であること、すなわち初期値 $(q,p)$ について計算した括弧が $\{q(t),p(t)\}=1$ を保つことを示した。式 (4.3.8) はその量子版で、ユニタリ変換 $\hat A\mapsto\hat U^\dagger\hat A\hat U$ は交換子を保つ（積を保つ）ので、正準変換の量子版になっている。

ただし、違う時刻の演算子どうしは一般に交換しない。下の例題の自由粒子では $[\hat q_{\mathrm H}(t),\hat q_{\mathrm H}(0)]=-\mathrm{i}\hbar t/m$ となる。古典の側でも、初期値 $(q,p)$ の関数とみた $q(t)=q+pt/m$ と $q(0)=q$ の括弧は $\{q(t),q\}=-t/m$ で、交換子はこれを $\mathrm{i}\hbar$ 倍したものである。異なる時刻の位置を同時に正確には決められないことは、古典の括弧の段階ですでに式の形で現れている。

Lie 級数

第1部第11章では、有限の時間の変化を括弧を重ねた Lie 級数 $A_t=A+t\{A,H\}+\frac{t^2}{2!}\{\{A,H\},H\}+\cdots$ で書いた。量子力学では$\mathrm{e}^{X}\hat A\mathrm{e}^{-X}$ を $X=\mathrm{i}\hat Ht/\hbar$ について展開すると

$$\hat A_{\mathrm H}(t)=\hat A+\frac{t}{\mathrm{i}\hbar}[\hat A,\hat H]+\frac{1}{2!}\Bigl(\frac{t}{\mathrm{i}\hbar}\Bigr)^2[[\hat A,\hat H],\hat H]+\cdots\tag{4.3.9}$$

となる（$\mathrm{e}^{X}\hat A\mathrm{e}^{-X}$ を $X$ の倍率 $s$ で微分すると $[X,\cdot]$ が1回ずつ掛かることから出る）。括弧をすべて $[\cdot,\cdot]/(\mathrm{i}\hbar)$ に置き換えた形で、重ねた交換子が有限回で $0$ になる場合には、級数が有限項で切れて Heisenberg 演算子が閉じた形で求まる。