当てる道具：流れの発散と Jacobi 行列式

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第1章 §3.1.2　★★★ Hamilton 方程式の流れは、$H$ が時刻を含んでいても相空間の体積を変えない（Liouville の定理）

体積の変化率は速度場の発散

相空間の点をまとめて $z=(q_1,\dots,q_f,p_1,\dots,p_f)$ と書き、Hamilton 方程式を $\dot z=v(z,t)$ の形にする。速度場は

$$v(z,t)=\Bigl(\frac{\partial H}{\partial p_1},\dots,\frac{\partial H}{\partial p_f},\ -\frac{\partial H}{\partial q_1},\dots,-\frac{\partial H}{\partial q_f}\Bigr)\tag{3.1.6}$$

である。時刻 $0$ の点 $z$ を時刻 $t$ の点 $\varphi_t(z)$ へ送る流れを考え、その Jacobi 行列を $M_{ab}(t)=\partial(\varphi_t(z))_a/\partial z_b$ と書く。点の近くの小さな平行体は $M$ で写され、体積は $\det M$ 倍になる。$M$ の時間変化を求めるには、Hamilton 方程式 $\dot z=v(z,t)$ を初期値 $z$ で微分すればよい。

$$\frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d} t}=A(t)\,M,\qquad A_{ab}(t)=\frac{\partial v_a}{\partial z_b}\Big|_{z=\varphi_t(z)},\qquad M(0)=1 .\tag{3.1.7}$$

これは変分方程式で、第1部第12章でも使った（第1部第12章）。

行列式の時間微分には、線形代数の公式 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\det M=\det M\cdot\operatorname{Tr}\bigl(M^{-1}\frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d} t}\bigr)$ を使う。この公式は、$M(t+\Delta t)=(1+A\Delta t)M(t)+\mathcal{O}(\Delta t^2)$ と$\det(1+A\Delta t)=1+\operatorname{Tr} A\,\Delta t+\mathcal{O}(\Delta t^2)$ から出る。式 (3.1.7) を入れると

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\det M=(\operatorname{Tr} A)\det M,\qquad \operatorname{Tr} A=\sum_a\frac{\partial v_a}{\partial z_a}=\nabla\cdot v\tag{3.1.8}$$

となる。体積の変化率は、軌道の上で測った速度場の発散そのものである。

Hamilton の速度場は発散が $0$

速度場 (3.1.6) の発散を計算すると、

$$\nabla\cdot v=\sum_{i=1}^f\Bigl(\frac{\partial \dot q_i}{\partial q_i}+\frac{\partial \dot p_i}{\partial p_i}\Bigr)=\sum_{i=1}^f\Bigl(\frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i}-\frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i}\Bigr)=0\tag{3.1.9}$$

である（第1部第8章）。この計算では時刻 $t$ を止めたまま $q$ と $p$ で微分しているので、$H$ が時刻を陽に含んでいても結果は変わらない。したがって次の定理を得る。

証明

式 (3.1.8) と (3.1.9) から $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\det M=0$、初期値は $\det M(0)=\det 1=1$ なので、すべての $t$ で $\det M=1$。体積は変数変換の公式 $\int_{\varphi_t(D)}\mathrm{d}^{2f}z'=\int_D\lvert \det M\rvert \,\mathrm{d}^{2f}z$ で求まるので、$D$ の体積に等しい。

第1部第12章の系 1.12.5 ではシンプレクティック条件から $\det M=1$ を出した。ここでは速度場の発散から出した。第1部第12章では $A=\mathsf J\mathsf S$（$\mathsf J$ は反対称なシンプレクティック形式の行列、$\mathsf S$ は $H$ の Hesse 行列）と書けることから$M^{\mathsf T}\mathsf JM=\mathsf J$ を示し、その行列式をとった。この章の道筋に直すと、$\operatorname{Tr}(\mathsf J\mathsf S)=\operatorname{Tr}\bigl((\mathsf J\mathsf S)^{\mathsf T}\bigr)=\operatorname{Tr}(\mathsf S^{\mathsf T}\mathsf J^{\mathsf T})=-\operatorname{Tr}(\mathsf S\mathsf J)=-\operatorname{Tr}(\mathsf J\mathsf S)$ から $\operatorname{Tr} A=0$ である。自由度が2以上では、シンプレクティックであることは体積を保つことより強い条件である（第1部第12章）。統計力学で必要なのは、この章の定理 3.1.1 の弱い方で足りる。

形は変わり、体積は変わらない

体積が変わらないことは、形が変わらないことを意味しない。図 3.1.1 は、逆さに立てた振り子の頂点の近くの運動$H=\frac12p^2-\frac12q^2$（質量と角振動数を $1$ にとった単位）で、正方形がどう運ばれるかを示している。正方形は対角線 $p=q$ の方向に $\mathrm{e}^{t}$ 倍に伸び、$p=-q$ の方向に $\mathrm{e}^{-t}$ 倍に縮んで、細長い菱形になる。2つの倍率の積が $1$ なので、面積は変わらない。一般の Hamilton 系でも、ある方向に引き伸ばされた分だけ別の方向に押し縮められる。3.1.5節で分布が細い筋に分かれるのは、この引き伸ばしのためである。