出てくるもの（1）：4f 系と空間フィルタ

光学と量子エレクトロニクス　第7章 §7.3　★★★ 2枚のレンズを焦点距離の和だけ離した 4f 系では、中間の焦点面が物体の空間周波数の面になり、そこに置いた開口や位相板が空間周波数ごとの伝達関数になる

4f 系の結像

焦点距離 $f_1$ のレンズ1と焦点距離 $f_2$ のレンズ2を距離 $f_1+f_2$ だけ離して置き、物体をレンズ1の前の焦点面に置く（図 7.1）。レンズ1の後ろの焦点面（レンズ2の前の焦点面でもある）をFourier 面と呼び、そこに透過率 $P(\bm{u})$ の板（開口や位相板）を置く。像はレンズ2の後ろの焦点面にできる。

図 7.1　4f 系（図は $f_2=2f_1$）。物体の光軸上の点から出た光線（赤の実線）はレンズ1で光軸に平行になり、レンズ2で像面の1点に集まる。物体から同じ向きに出た平面波の成分（緑の破線）は Fourier 面の1点に集まる。Fourier 面の板（橙）が空間周波数ごとに光を通すか止めるかを決める。光線の線種はこの図では近似と厳密の区別でなく、2種類の光線の束の区別である。

定理 7.1 を2回使う。$d=f_1$ なので Fourier 面の場は $U_2(\bm{u})=\mathrm{e}^{2\mathrm{i} kf_1}\tilde U_1(k\bm{u}/f_1)/(\mathrm{i}\lambda f_1)$ で、板を通って $P(\bm{u})U_2(\bm{u})$ になる。これをレンズ2で再び Fourier 変換し、$\bm{K}=k\bm{u}/f_1$ に積分変数を替えると、定数の位相 $\mathrm{e}^{2\mathrm{i} k(f_1+f_2)}$ を除いて

$$U_3(\bm{x})=-\frac{f_1}{f_2}\int\frac{\mathrm{d}^2K}{(2\pi)^2}\,P\Bigl(\frac{f_1\bm{K}}{k}\Bigr)\,\tilde U_1(\bm{K})\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{K}\cdot\bm{x}/M},\qquad M=-\frac{f_2}{f_1}\tag{7.14}$$

を得る（前因子は $(f_1/k)^2/[(\mathrm{i}\lambda)^2f_1f_2]=-(f_1/f_2)/(2\pi)^2$ から）。$P=1$（板を置かない）なら $U_3(\bm{x})=U_1(\bm{x}/M)/M$ で、倍率 $M=-f_2/f_1$ の倒立の像になる。因子 $1/M$ は像の面積が $M^2$ 倍に広がる分だけ振幅を下げ、全体の電力を保つ。

式 (7.14) は、物体の空間周波数 $\bm{K}$ の成分に $P(f_1\bm{K}/k)$ を掛けてから組み立て直したものが像である、と読める。

ABCD 行列で見ると、4f 系は $\mathrm{diag}(-f_2/f_1,-f_1/f_2)$ で、$B=0$（結像）と $C=0$（平行光が平行光のまま出る）を両方満たす。$C=0$ のために、像の位置は物体の照明の角度によらない。物体のどの点から出た光も、Fourier 面を同じ位置で通るのは同じ向きの平面波の成分である。Fourier 面の開口が、物体のすべての点に同じ伝達関数を当てることができる理由は、この共通の位置にある。

空間フィルタ

Fourier 面の板 $P$ を選ぶと、像の空間周波数を選んで残すことができる。代表的なものを3つ挙げる。

低域通過（ピンホール）。Fourier 面の中心に半径 $r$ の穴を置くと、$\lvert \bm{K}\rvert <kr/f_1$ の成分だけが通る。レーザー光の強度の細かいむら（鏡やレンズの上の埃による回折）は大きな $\bm{K}$ を持つので、小さな穴でこれを止めると、むらの無い Gauss ビームが残る。これがレーザー光の空間フィルタで、穴の大きさは焦点のビーム半径 $\lambda f/(\pi w_0)$（例題 7.2）の1.5倍程度に選ぶ。例えば穴の半径をこの半径の $\sqrt{\ln100/2}=1.52$ 倍にすると、Gauss ビームの電力の 99 パーセントが通る。

高域通過（暗視野）。Fourier 面の中心の点（$\bm{K}=0$ の成分）だけを小さな板で止めると、物体の平均の透過率 $c=\langle t\rangle$ が引かれて、像は $\lvert t-c\rvert ^2$ になる。一様な背景が暗くなり、縁や小さな構造だけが明るく見える。透明な物体 $t=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\bm{x})}$ でも、像は $\lvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}-1\rvert ^2=4\sin^2(\phi/2)\approx\phi^2$ の明るさを持つので、位相の分布を見ることができる。

位相差法（Zernike）。透明な物体 $t=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\bm{x})}$ の像は、何もしなければ $\lvert t\rvert ^2=1$ で一様である。位相 $\phi$ が小さいと $t\approx1+\mathrm{i}\phi$ で、物体の情報は平均の成分 $1$ に対して位相が $90^\circ$ ずれた $\mathrm{i}\phi$ に入っている。強度 $\lvert 1+\mathrm{i}\phi\rvert ^2=1+\phi^2$ には $\phi$ の1次の項が出ない。Fourier 面の中心だけに位相 $\pi/2$ を足す（因子 $\mathrm{i}$ を掛ける）小さな板を置くと、平均の成分が $1\to\mathrm{i}$ に変わり、像の場は $\mathrm{i}+\mathrm{i}\phi=\mathrm{i}(1+\phi)$、強度は $1+2\phi$ になる。位相の分布が強度の1次の濃淡として見え、染色しない細胞を顕微鏡で見る位相差顕微鏡がこの原理で作られている。暗視野の $\phi^2$ に比べ、小さい $\phi$ ではずっと大きな濃淡が得られる。

周期 $\Lambda$ の格子を物体にすると、例題 7.1 の $\pm1$ 次の回折光は Fourier 面の $u=\pm\lambda f_1/\Lambda$ の点に集まる。Fourier 面の開口の半径 $a$ がこれより小さいと、$\pm1$ 次が止められて像に縞が出ない。格子の像が見えるための条件 $\Lambda>\lambda f_1/a$ は、像の細かさの限界を開口の大きさで書いたもので、第8章（第8章）で Abbe の限界として扱う。