出てくるもの（2）：結像の伝達関数

光学と量子エレクトロニクス　第7章 §7.4　★★★ コヒーレントな照明では振幅が、インコヒーレントな照明では強度が線形の系になり、後者の伝達関数（OTF）は瞳の自己相関で、遮断の空間周波数が2倍になる

インコヒーレントな結像

命題 7.2 は、物体を1つの平面波（レーザー光）で照らし、物体の各点の場が互いに決まった位相の関係を持つ場合の式である。このときは振幅が線形に伝わるが、目やカメラが測る強度 $\lvert U_3\rvert ^2$ は物体の強度の線形な関数にならない。一方、自ら光る物体や、広い角度から来る光で照らした物体では、物体の異なる点の場の位相が時間とともにばらばらに変わる。この極限を

$$\langle U_1(\bm{x})\,U_1^*(\bm{x}') \rangle =\kappa\,I_1(\bm{x})\,\delta^{(2)}(\bm{x}-\bm{x}')\tag{7.16}$$

と書き、インコヒーレントな照明と呼ぶ（$\langle \cdot \rangle$ は時間平均、$I_1$ は物体の強度、$\kappa$ は定数）。式 (7.15) の像の強度を時間平均すると、

$$\langle \lvert MU_3(M\bm{x})\rvert ^2 \rangle =\iint\mathrm{d}^2x'\mathrm{d}^2x''\,h(\bm{x}-\bm{x}')h^*(\bm{x}-\bm{x}'')\langle U_1(\bm{x}')U_1^*(\bm{x}'') \rangle =\kappa\int\mathrm{d}^2x'\,\lvert h(\bm{x}-\bm{x}')\rvert ^2I_1(\bm{x}')$$

となる。インコヒーレントな結像は強度について線形の系で、その点像分布関数は振幅の点像分布関数の絶対値の2乗 $\lvert h\rvert ^2$ である。異なる点から来た光は干渉せず、強度が足し合わされる。

証明

1つ目の等号は、畳み込みの Fourier 変換が Fourier 変換の積になること（$\bm{K}=0$ で $1$ になるよう規格化した）。2つ目は、$h$ の Fourier 変換が $H_{\mathrm c}$ なので、積 $h\,h^*$ の Fourier 変換が$H_{\mathrm c}$ とその反転の畳み込み $\int\frac{\mathrm{d}^2K'}{(2\pi)^2}H_{\mathrm c}(\bm{K}')H_{\mathrm c}^*(\bm{K}'-\bm{K})$ になることによる（分母も同じ式の $\bm{K}=0$）。$\lvert O\rvert \le1$ は Cauchy–Schwarz の不等式から従う。

式 (7.17) の2つ目の形から、OTF は瞳 $H_{\mathrm c}$ と、それを $\bm{K}$ だけずらしたものの重なりで決まる。瞳が $\lvert \bm{K}\rvert \le K_{\mathrm c}$ の円なら、$\lvert \bm{K}\rvert >2K_{\mathrm c}$ で2つの円が重ならないので $O=0$ になる。インコヒーレントな結像はコヒーレントな結像の2倍の空間周波数まで通す。強度 $\lvert U\rvert ^2$ には振幅の空間周波数の差が現れ、振幅の空間周波数が $\pm K_{\mathrm c}$ まであれば強度の空間周波数は $2K_{\mathrm c}$ まであることと同じ内容である。

円形の瞳

Fourier 面に半径 $a$ の円形の開口を置くと、$H_{\mathrm c}(\bm{K})=1$（$\lvert \bm{K}\rvert \le K_{\mathrm c}$）、$0$（それ以外）で、$K_{\mathrm c}=ka/f_1=k\,\mathrm{NA}$ である。ここで $\mathrm{NA}=a/f_1$ は物体の側の開口数（近軸での値）で、空間周波数 $\nu=K/(2\pi)$ で書くとコヒーレントの遮断は $\nu_{\mathrm c}=\mathrm{NA}/\lambda$、インコヒーレントの遮断は $2\mathrm{NA}/\lambda$ である。振幅の点像分布関数は

$$h(\bm{x})=\frac{K_{\mathrm c}^2}{4\pi}\cdot\frac{2J_1(v)}{v},\qquad v=K_{\mathrm c}\lvert \bm{x}\rvert\tag{7.18}$$

で、その2乗が第6章の Airy 円盤である。OTF は半径 $K_{\mathrm c}$ の2つの円の重なりの面積を円の面積で割ったもので、$s=\lvert \bm{K}\rvert /(2K_{\mathrm c})$ として

$$O(\bm{K})=\frac2\pi\Bigl[\arccos s-s\sqrt{1-s^2}\,\Bigr]\qquad(0\le s\le1),\qquad O=0\quad(s>1)\tag{7.19}$$

となる（図 7.2）。$s=1/2$、すなわちコヒーレントの遮断の空間周波数で $O=0.391$ である。コヒーレント伝達関数は遮断の周波数まで $1$ で一定だが、インコヒーレントの OTF は $\bm{K}=0$ から単調に下がり、細かい構造ほど濃淡が弱まって像に写る。

レンズに収差があると、瞳の上に位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_0\Phi(\bm{u})}$（第3章の波面のずれ $\Phi$）が乗り、式 (7.17) の重なりの積分の中で位相が打ち消し合って $\lvert O\rvert$ が下がる。点像の中心の強度は OTF の積分に比例するので、第3章の Strehl 比は、収差のある系とない系の OTF の積分の比として書くこともできる。

縁の像：コヒーレントとインコヒーレントの違い

伝達関数の違いは、明暗の境目（縁）の像で目に見える形になる。$x>0$ で透過率 $1$、$x<0$ で $0$ の縁を、$x$ の向きだけに幅を持つ瞳（$\lvert K_x\rvert \le K_{\mathrm c}$ のスリット）で結像する。コヒーレントな照明では振幅の像が $\tfrac12+\mathrm{Si}(K_{\mathrm c}x)/\pi$ で（$\mathrm{Si}$ は正弦積分）、その2乗が強度である。インコヒーレントな照明では強度の点像分布関数 $(K_{\mathrm c}/\pi)\,\mathrm{sinc}^2(K_{\mathrm c}x)$（$\mathrm{sinc}\,y=\sin y/y$）を縁の強度に畳み込んで、$s=K_{\mathrm c}x$ として

$$I_{\mathrm{coh}}(s)=\Bigl(\frac12+\frac{\mathrm{Si}(s)}{\pi}\Bigr)^2,\qquad I_{\mathrm{inc}}(s)=\frac12+\frac1\pi\Bigl[\mathrm{Si}(2s)-\frac{\sin^2s}{s}\Bigr]\tag{7.20}$$

を得る（図 7.3）。