何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第7章 §7.5　★★ 3つの近似（Fresnel 近似・薄い物体・スカラー波）と、焦点面のパワースペクトルと縁の像から測る MTF

置いた近似

1つ目は Fresnel 近似 (7.4) で、角スペクトルの位相 $k_zz$ を $\lvert \bm{K}\rvert /k$ の2次で打ち切った。$u=(\lvert \bm{K}\rvert /k)^2$ とおくと、捨てた位相は $kz[\sqrt{1-u}-1+u/2]$ で、$\sqrt{1-u}$ の Taylor 展開の係数が $u^2$ から先すべて負で大きさが $1/8$ 以下なので

$$\frac{kz\,u^2}{8}\le kz\Bigl\lvert\sqrt{1-u}-1+\frac u2\Bigr\rvert\le\frac{kz\,u^2}{8(1-u)}\tag{7.21}$$

が成り立つ。場の角スペクトルが $\lvert \bm{K}\rvert \le k\,\mathrm{NA}$ に収まっていれば、Fresnel 近似の伝達関数の位相の誤差は $kz\,\mathrm{NA}^4/[8(1-\mathrm{NA}^2)]$ 以下で、これが $1$ より十分小さければ近似は使える。レンズの Fourier 変換の定理は、薄いレンズの2次の位相 (7.8) と Fresnel 近似が打ち消し合うことに頼っているので、同じ誤差が収差として残る。実際の Fourier 変換用のレンズは何枚かのレンズを組み合わせ、$\lvert \bm{u}\rvert =f\sin\theta$ の対応が大きな角度まで保たれるように収差を補正してある。

2つ目は薄い物体の近似 (7.6) で、物体の中で光が横に広がることを無視した。厚さ $\ell$ の物体の中で、大きさ $a$ の構造で回折した光が横に進む距離は $\ell\lambda/a$ の桁なので、これが $a$ より十分小さいこと、すなわち $\ell\lambda/a^2\ll1$ が条件になる。厚い格子（体積ホログラム）のように $\ell\lambda/a^2$ が $1$ を超えると、回折光どうしが物体の中で結合し、特定の角度だけで強く回折する別の振る舞いになる。

3つ目はスカラー近似で、電場の向き（偏光）を忘れた。光軸からの傾き $\theta$ が小さいと、電場の $z$ 成分は横の成分の $\sin\theta$ 倍の桁で、無視できる。開口数が $1$ に近い顕微鏡の対物レンズや、液浸の露光装置（第8章）では、焦点の近くで電場の $z$ 成分と偏光の向きによる点像の非対称が現れ、ベクトル場として扱う必要がある。

照明については、完全にコヒーレントな場合（式 (7.15)）と完全にインコヒーレントな場合（式 (7.16)）の両端だけを扱った。実際の顕微鏡の照明はその中間の部分的なコヒーレンスを持ち、それを扱う道具（相互強度とその伝わり方）は第9章（第9章）で導く。この両端は近似というより、部分的なコヒーレンスの式の2つの極限である。

何の実験の量で確かめるか

この章で出てきた量のうち、直接測れるものは2つある。1つは Fourier 面（レンズの後ろの焦点面）の強度で、式 (7.9) から物体のパワースペクトル $\lvert \tilde U_1(k\bm{u}/f)\rvert ^2$ そのものである。格子を置けば回折の点の間隔 $\lambda f/\Lambda$ から周期が、ランダムな表面を置けばその粗さの空間周波数の分布が、位置の目盛りを読むだけで得られる。

もう1つは結像系の MTF である。正弦波の濃淡の試験パターンを空間周波数を変えながら写して像の濃淡を測る方法のほかに、縁を1枚写すだけで MTF を出す方法がよく使われる。インコヒーレントな縁の像 $I_{\mathrm{inc}}(x)$ を $x$ で微分すると、強度の線像分布関数（線の像）が得られ、その Fourier 変換の絶対値が MTF の1次元の切り口になる。スリットの瞳では線像分布関数が $(K_{\mathrm c}/\pi)\mathrm{sinc}^2(K_{\mathrm c}x)$ で、その Fourier 変換は三角形 $1-\lvert K\rvert /(2K_{\mathrm c})$ である。これはスリットの瞳の自己相関（式 (7.17)）と一致する。縁を画素の並びに対して少し傾けて写すと、画素の間隔より細かい位置で縁の像を標本化できるので、デジタルカメラの解像の検査ではこの傾けた縁の方法が使われる。コヒーレントな照明の系では、例題 7.4 のように像の強度が振幅について線形でなく、強度の微分が点像分布関数にならないので、この方法をそのまま使うことはできない。