授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第7章 §7.6　★★ 学部の光学の空間周波数 $\nu=K/(2\pi)$ と Fraunhofer 回折の条件 $z\gg\pi a^2/\lambda$ は、この章の式の書き換えである

空間周波数で書いた Fourier 変換

学部の光学の多くの教科書では、空間周波数 $\bm{\nu}=(\nu_x,\nu_y)$（単位長さあたりの縞の数）を使って、Fourier 変換を

$$G(\bm{\nu})=\int\mathrm{d}^2x\,g(\bm{x})\,\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i}\bm{\nu}\cdot\bm{x}},\qquad g(\bm{x})=\int\mathrm{d}^2\nu\,G(\bm{\nu})\,\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\bm{\nu}\cdot\bm{x}}\tag{7.22}$$

と書く。この章の式 (7.2) とは $\bm{K}=2\pi\bm{\nu}$、$\tilde g(\bm{K})=G(\bm{K}/2\pi)$、$\mathrm{d}^2K/(2\pi)^2=\mathrm{d}^2\nu$ で結ばれ、$2\pi$ が指数の中に入るので前因子が消える。この書き方では、レンズの Fourier 変換の定理 (7.9)（$d=f$）は

$$U_f(\bm{u})=\frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i} kf}}{\mathrm{i}\lambda f}\,G_1\Bigl(\frac{\bm{u}}{\lambda f}\Bigr)\tag{7.23}$$

となる。焦点面の位置 $\bm{u}$ を $\lambda f$ で割ったものが空間周波数で、周期 $\Lambda$ の縞は $\lvert \bm{u}\rvert =\lambda f/\Lambda$ の点に集まる。コヒーレントな遮断 $\nu_{\mathrm c}=\mathrm{NA}/\lambda$、インコヒーレントな遮断 $2\mathrm{NA}/\lambda$ も、この書き方での値である。時間の因子を $\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t}$（工学の流儀で $\mathrm{e}^{j\omega t}$）にとる教科書では、$\mathrm{i}$ の符号がすべて反転し、薄いレンズの透過率は $\exp(+\mathrm{i} k\lvert \bm{x}\rvert ^2/2f)$ と書かれる。物理の内容は同じである。

Fraunhofer 回折の条件とレンズ

Fresnel の核 (7.5) で、開口の中の $\bm{x}'$ について $k\lvert \bm{x}'\rvert ^2/(2z)$ の位相を捨てられる距離では、

$$U(\bm{x},z)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}}{\mathrm{i}\lambda z}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\lvert \bm{x}\rvert ^2/(2z)}\,\tilde U\Bigl(\frac{k\bm{x}}{z}\Bigr)$$

となり、遠方の像が開口の Fourier 変換になる。これが学部で習う Fraunhofer 回折で、条件は開口の半径を $a$ として $z\gg ka^2/2=\pi a^2/\lambda$ と書かれる。式 (7.9) と見比べると、Fraunhofer 回折の式は $d=0$（物体をレンズに密着させた場合）のレンズの式で $f$ を $z$ に置き換えたものと同じ形をしている。レンズは、捨てた位相 $-k\lvert \bm{x}'\rvert ^2/(2z)$ に当たる位相を物体に掛けて、無限遠の像を有限の距離に持ってくる。

学部の光学で「Abbe の二段階の結像」として習う考え方、すなわち物体による回折（第1段）と回折光どうしの干渉による像の形成（第2段）は、式 (7.14) の2回の Fourier 変換に当たる。Fourier 面で止められた回折光は像に寄与しないので、像は物体の空間周波数の一部だけから組み立てられる。