この章のまとめ

(1) $\mathrm{NA}=a/f=0.02$。コヒーレントな遮断は $\nu_{\mathrm c}=\mathrm{NA}/\lambda=0.02/(5\times10^{-4}\,\mathrm{mm})=40\,\mathrm{mm^{-1}}$（周期 $25\,\mu\mathrm m$）、インコヒーレントな遮断はその2倍の $80\,\mathrm{mm^{-1}}$（周期 $12.5\,\mu\mathrm m$）である。

(2) 例題 7.1 で $m=1$ とおくと、格子を出る光は $0$ 次（振幅 $1/2$）と $\pm1$ 次（振幅 $1/4$）の3つの平面波で、Fourier 面の $u=0$ と $u=\pm\lambda f/\Lambda$ の3点に集まる。$\Lambda=30\,\mu\mathrm m$ では $\lambda f/\Lambda=1.67\,\mathrm{mm}<a$ で3点とも開口を通り、像の振幅は物体と同じ（倒立）で、強度は $\tfrac14(1+\cos(2\pi x/\Lambda))^2$、コントラストは $1$ である。$\Lambda=20\,\mu\mathrm m$ では $\lambda f/\Lambda=2.5\,\mathrm{mm}>a$ で $\pm1$ 次が開口に止められ、$0$ 次だけが残る。像は強度 $1/4$ の一様な明るさで、縞は写らない。空間周波数で言えば、$33.3\,\mathrm{mm^{-1}}$ は遮断 $40\,\mathrm{mm^{-1}}$ より下で、$50\,\mathrm{mm^{-1}}$ は上である。

(3) インコヒーレントな結像では、伝わるのは物体の強度

$$\lvert t\rvert ^2=\frac14\Bigl(1+\cos\frac{2\pi x}\Lambda\Bigr)^2=\frac38+\frac12\cos\frac{2\pi x}\Lambda+\frac18\cos\frac{4\pi x}\Lambda$$

の各成分である。$\Lambda=20\,\mu\mathrm m$ では基本の成分が $\nu=50\,\mathrm{mm^{-1}}$（$s=50/80=0.625$）、2倍の成分が $100\,\mathrm{mm^{-1}}$（$s>1$）で、式 (7.19) から$O(50\,\mathrm{mm^{-1}})=\frac2\pi[\arccos0.625-0.625\sqrt{1-0.625^2}]=0.260$、$O(100\,\mathrm{mm^{-1}})=0$。像の強度は $\frac38+\frac12\times0.260\cos(2\pi x/\Lambda)$ で、

$$\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}=\frac{0.260}{3/4}=0.346 .$$

コヒーレントな照明では写らなかった $20\,\mu\mathrm m$ の格子が、インコヒーレントな照明ではコントラスト $0.35$ で写る。ただしコヒーレントな照明で写った $30\,\mu\mathrm m$ の格子は、インコヒーレントな照明ではコントラストが $0.63$ に下がる（$O=0.485$ と $0.080$ から同じ計算で求まる）。どちらの照明が良いかは、物体の空間周波数によって変わる。

(4) 円形の瞳の強度の点像分布関数は $[2J_1(v)/v]^2$（$v=k\,\mathrm{NA}\,r$）で、最初の暗い輪は $J_1$ の最初の零 $v=3.832$ にある。半径は

$$r_1=\frac{3.832}{k\,\mathrm{NA}}=0.610\,\frac{\lambda}{\mathrm{NA}}=15.2\,\mu\mathrm m$$

である。インコヒーレントな遮断の周期 $\lambda/(2\mathrm{NA})=12.5\,\mu\mathrm m$ はこれより短い。2つの量はどちらも $\lambda/\mathrm{NA}$ に比例するが、係数が違い、OTF は遮断の近くで $0$ に近いので、遮断の周期に近い格子はコントラストがほとんど無い状態で写る。点像の半径は2つの点を分けて見る目安（第8章で Rayleigh の基準として扱う）で、遮断の周期は像に何らかの濃淡が残る限界である。点像分布関数 $[2J_1(v)/v]^2$ を Fourier 変換すると式 (7.19) になり、$2k\,\mathrm{NA}$ より上で $0$ になる（数値積分で確かめることができる）。

(5) 例題 7.2 の (3) と同じく、焦点のビーム半径は $w_f=\lambda f/(\pi w_0)=5\times10^{-7}\times0.1/(\pi\times10^{-3})\,\mathrm m=15.9\,\mu\mathrm m$ で、Gauss ビームが半径 $r$ の円の中に運ぶ電力の割合は $1-\mathrm{e}^{-2r^2/w_f^2}$ である。これを $0.99$ とおいて

$$r=w_f\sqrt{\frac{\ln100}{2}}=1.52\,w_f=24.2\,\mu\mathrm m .$$

周期 $0.2\,\mathrm{mm}$ のむら（空間周波数 $5\,\mathrm{mm^{-1}}$）の回折光は、焦点面の $u=\lambda f\nu=250\,\mu\mathrm m$ に集まるので、ピンホールに止められる。このピンホールが通すのは $\nu<r/(\lambda f)=0.48\,\mathrm{mm^{-1}}$、周期にして $2\,\mathrm{mm}$ 程度より長い変化だけで、ビーム半径 $1\,\mathrm{mm}$ の Gauss の形そのものは残る。