この章のまとめ

(1) 遠くの点から来る光は平行光で、穴を通った光線はそのまま直進するので、フィルムの上に穴と同じ直径 $D$ の円い影を作る。幾何光学のぼけは穴が小さいほど小さい。

(2) 式 (6.20) から最初の暗い輪の角度は $1.22\lambda/D$ で、フィルムの上の明るい円盤の直径は $2\times1.22\lambda L/D=2.44\lambda L/D$。回折のぼけは穴が小さいほど大きい。

(3) $D+2.44\lambda L/D$ を $D$ で微分して $0$ と置くと $D^2=2.44\lambda L$ で、

$$D_{\mathrm{opt}}=\sqrt{2.44\lambda L}=\sqrt{2.44\times550\times10^{-6}\times100}\,\mathrm{mm}=0.366\,\mathrm{mm}.$$

そのとき2つのぼけは等しく、和は $2\sqrt{2.44\lambda L}=0.733\,\mathrm{mm}$ である。

(4) $N_{\mathrm F}=(D_{\mathrm{opt}}/2)^2/(\lambda L)=2.44/4=0.61$。$N_{\mathrm F}\ll1$ ではないので、Fraunhofer 近似は目安としてしか使えず、(2) の Airy 円盤は形の見積もりにとどまる。最適な穴は、フィルムから見て最初の Fresnel 帯の約 $0.6$ 個分にあたる。幾何光学のぼけ（$D$）と回折のぼけ（$\lambda L/D$）が等しいことは、$D^2\sim\lambda L$、つまり $N_{\mathrm F}\sim1$ と同じことだからである。軸上の強度は式 (6.12) で $4\sin^2(0.305\pi)=2.68$ で、厳密な式 (6.8) でも小数第3位まで同じである（$a/L\sim2\times10^{-3}$ で Fresnel 近似は十分正しい）。軸上が入射光より明るいのは、穴に入った光が回折で軸の近くに集まるからで、穴を通ったパワーは $D_{\mathrm{opt}}$ の大きさの像に広がる。

(5) F 値は $L/D_{\mathrm{opt}}=100/0.366=273$。像の照度は F 値の2乗に反比例するので（第2章）、F 値 $2.8$ のレンズに比べて露光時間は $(273/2.8)^2=9.5\times10^3$ 倍要る。分けて写せる点の数は、ぼけの直径で幅を割って $36/0.733=49$ 程度である。回折限界の F 値 $2.8$ のレンズでは Airy 円盤の直径が $2.44\lambda\times2.8=3.76\,\mu\mathrm m$ で、同じ幅に約 $10^4$ 個の点を分けることができる。ピンホールカメラは、収差が無い代わりに、回折と幾何光学のぼけの釣り合いで開口が $0.37\,\mathrm{mm}$ に決まり、明るさと細かさの両方でレンズに及ばない。レンズは穴を大きく開けたまま、各点からの光の位相を揃えて1点に集める（焦点面で Fraunhofer の式が成り立つ）ので、ぼけは回折の $\lambda/\mathrm{NA}$ まで下がる。