授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第6章 §6.6　★★ 学部の光学の Huygens–Fresnel の原理と Kirchhoff の回折積分は、この章の核 (6.7) の $kr\gg1$ の形で、傾斜因子の違いは境界で何を与えるかの違い

Huygens–Fresnel の原理と傾斜因子

学部の光学では、回折を Huygens–Fresnel の原理から始めることが多い。波面の各点が2次波の波源になり、観測点の場は2次波の重ね合わせである、という原理で、式にすると

$$U(P)=\frac{1}{\mathrm{i}\lambda}\int_{\text{開口}}U(\bm{x}')\,\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}}{r}\,K(\theta)\,\mathrm{d}^2x'\tag{6.23}$$

と書く。$K(\theta)$ は傾斜因子で、Fresnel はその形を決めず、後に Kirchhoff が Green の定理から、垂直に入る平面波に対して $K=(1+\cos\theta)/2$ を導いた（Kirchhoff の回折積分）。

この章の式 (6.7) は、$kr\gg1$ で $K=\cos\theta$ の場合にあたる。これを Rayleigh–Sommerfeld の第1種の積分と呼ぶ。同じ考え方で、$z=0$ の場 $U$ の代わりに $\partial_zU$ を与えることもできる。角スペクトルでは $\tilde U(\bm{q};z)=\partial_z\tilde U(\bm{q};0)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz}/(\mathrm{i} k_z)$ で、$\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz}/(\mathrm{i} k_z)$ の逆 Fourier 変換は Weyl の展開 (6.6) から $-\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}/(2\pi r)$ なので

$$U(\bm{x},z)=-\frac{1}{2\pi}\int\mathrm{d}^2x'\,\partial_zU(\bm{x}',0)\,\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}}{r}$$

を得る（第2種の積分）。垂直に入る平面波なら開口の中で $\partial_zU=\mathrm{i} kU$ で、$-\mathrm{i} k/(2\pi)=1/(\mathrm{i}\lambda)$ だから、式 (6.23) で $K=1$ の形になる。Kirchhoff の傾斜因子は2つの平均 $(1+\cos\theta)/2$ で、Kirchhoff の積分は第1種と第2種の積分の平均になっている。

3つの式の違いは、$z=0$ の面で何を与えるかにある。第1種は $U$ だけ、第2種は $\partial_zU$ だけを与え、どちらも与えたものについて厳密な解になる。Kirchhoff は $U$ と $\partial_zU$ の両方を、開口では入射波の値、板の上では $0$ と置いた。ところが Helmholtz 方程式の解は、面の上で $U$ と $\partial_zU$ の両方が $0$ になる部分があると、全空間で $0$ になる（Cauchy の問題の解の一意性）。したがって Kirchhoff の置き方は厳密には両立しない値を同時に与えていて、得られた式は開口の面に近づいても与えた値に戻らない。この矛盾は、$U$ だけを与える第1種の積分にすると無くなる。ただし開口の上の値を入射波で置き換えること自体は第1種でも同じ近似で（6.5節の札）、開口が波長より十分大きく角度が小さい範囲では $\cos\theta\approx(1+\cos\theta)/2\approx1$ なので、3つの式の答えはほとんど変わらない。

Fresnel 帯

学部の光学では、円開口の軸上の明暗を Fresnel 帯で説明する。軸上の点 $P$（開口から $z$）から開口の面の点までの距離が $z+\lambda/2,\ z+\lambda,\ z+3\lambda/2,\dots$ になる円で、開口の面を輪に分ける。$m$ 番目の円の半径は、$\sqrt{\rho_m^2+z^2}-z=m\lambda/2$ から $\rho_m^2=m\lambda z+(m\lambda/2)^2\approx m\lambda z$ である。隣り合う帯から来る2次波は半波長ずれて打ち消し合い、各帯の面積 $\pi\lambda z$ は $m$ によらないので、各帯の寄与は大きさがほぼ同じで符号が交互に変わる。開口が奇数個の帯を含めば1つ分が残って明るく、偶数個なら打ち消して暗い。開口に含まれる帯の数は $a^2/(\lambda z)=N_{\mathrm F}$ で、式 (6.12) の明暗の規則と同じ結果になる。この章の式 (6.8) は、この帯の足し算を傾斜因子 $\cos\theta$ と $1/r$ の変化まで含めて厳密に実行したもので、残るのは中心の波と縁の波の2項だけだった。連続な帯の寄与の和が、両端の値（中心と縁）だけで決まるのは、被積分関数が全微分になっていたからである。