出てくるもの（2）：円開口と Airy 円盤・回折限界

光学と量子エレクトロニクス　第6章 §6.4　★★★ 円開口の Fraunhofer 像は Airy 円盤 $[2J_1(\xi)/\xi]^2$ で、最初の暗い輪は $\sin\theta=1.22\lambda/D$。点の像の大きさの下限（回折限界）がここで決まる

円開口の Fourier 変換

半径 $a$（直径 $D=2a$）の円い穴の透過の関数の Fourier 変換を極座標で書く。$\bm{x}'=\rho(\cos\varphi,\sin\varphi)$、$\bm{q}$ を $x$ の向きにとると $\bm{q}\cdot\bm{x}'=q\rho\cos\varphi$ で、

$$\tilde t(\bm{q})=\int_0^a\rho\,\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} q\rho\cos\varphi}=2\pi\int_0^aJ_0(q\rho)\,\rho\,\mathrm{d}\rho=\pi a^2\,\frac{2J_1(qa)}{qa}\tag{6.18}$$

となる。ここで角度の積分 $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} u\cos\varphi}\mathrm{d}\varphi=J_0(u)$ を0次の Bessel 関数の定義として使い、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} u}[uJ_1(u)]=uJ_0(u)$ から $\int_0^aJ_0(q\rho)\rho\,\mathrm{d}\rho=aJ_1(qa)/q$ とした。$J_1$ は1次の Bessel 関数で、$J_1(u)\approx u/2$（$u\to0$）なので $\tilde t(0)=\pi a^2$（穴の面積）である。式 (6.13) に入れて、遠方の強度は

$$I(\theta)=I(0)\Bigl[\frac{2J_1(\xi)}{\xi}\Bigr]^2,\qquad \xi=ka\sin\theta=\frac{\pi D\sin\theta}{\lambda},\qquad I(0)=\frac{P\,\pi a^2}{\lambda^2z^2}\tag{6.19}$$

になる（$P=I_0\pi a^2$ は穴を通る全パワー）。この分布を Airy 円盤（Airy パターン）と呼ぶ。中心の強度が穴の面積の2乗に比例するのは、面積に比例するパワーが、面積に反比例する広さに集まるからである。数値で $\int_0^\infty\xi[2J_1(\xi)/\xi]^2\mathrm{d}\xi=2$ を使うと、式 (6.19) を面の上で積分した全パワーがちょうど $P$ になる。

$J_1$ の最初の $0$ は $\xi=3.8317$ にあるので、最初の暗い輪は

$$\sin\theta_1=\frac{3.8317}{\pi}\frac{\lambda}{D}=1.22\,\frac{\lambda}{D}\tag{6.20}$$

にある。強度が半分になる点は $\xi=1.616$ で、半値全幅は $1.029\lambda/D$ である。最初の暗い輪の内側に入るパワーの割合は $1-J_0(\xi_1)^2-J_1(\xi_1)^2=0.838$ で、全パワーの $84$ パーセントが中心の円盤に入る。

回折限界

望遠鏡で2つの星を見る場合のように、互いに干渉しない2つの点光源の像を考える。像は2つの Airy 円盤の強度の和で、一方の中心がもう一方の最初の暗い輪に重なる角度 $1.22\lambda/D$ を、分けて見える限界の目安にする（Rayleigh の基準）。レンズの焦点面では式 (6.13) の $z$ が焦点距離 $f$ に置き換わり、像の面での Airy 円盤の半径は

$$r_{\mathrm{Airy}}=1.22\,\frac{\lambda f}{D}=0.61\,\frac{\lambda}{\mathrm{NA}}\tag{6.21}$$

になる（$\mathrm{NA}\approx D/(2f)$ は第2章の像の側の開口数）。第2章（第2章）で幾何光学が「点に集まる」とした焦点は、実際にはこの大きさを持つ。これを回折限界と呼ぶ。収差を完全に消しても、これより小さい点に光を集めることはできない。

回折限界の起源はモードの数で言い直せる。面積 $A$ の開口を、立体角 $\Omega$ の向きの範囲に出ていく光のモードの数は、横の波数の面の上の面積 $k^2\Omega$ に開口の面積を掛けて $(2\pi)^2$ で割った$A\,k^2\Omega/(2\pi)^2=A\Omega/\lambda^2$ 程度である。モード1つ分（$A\Omega\sim\lambda^2$）より狭い所に光を詰めることはできない。第4章のガウスビームは、ビームの断面積 $\pi w_0^2$ と広がりの立体角 $\pi\theta_0^2$（$\theta_0=\lambda/(\pi w_0)$）の積がちょうど $\lambda^2$ で、モード1つ分の光になっている。幾何光学のエタンデュ（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章で Liouville の定理として示した、光の相空間の体積）は、波の言葉ではモードの数で、その最小の単位が $\lambda^2$ である。

点の像の中心の強度は、収差の評価にも使える。焦点面の中心（$\bm{q}=0$）の場は、式 (6.13) から瞳の上の場をそのまま積分したものなので、瞳の上に光路長のずれ $\Phi(\bm{x}')$ があると、中心の振幅は $\int\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\Phi}\mathrm{d}^2x'$ に比例する。収差の無い場合との強度の比は

$$S=\Bigl\lvert\frac{1}{A}\int_{\text{瞳}}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\Phi(\bm{x}')}\,\mathrm{d}^2x'\Bigr\rvert^2\tag{6.22}$$

で、これが第3章（第3章）で先に使った Strehl 比である。回転対称な $\Phi(\rho)$ なら第3章の式の形になり、開口の縁で $\lambda/4$ のデフォーカスでは $S=0.811$ になる。