この章で選ぶ $H$：近軸の先の4次の項

光学と量子エレクトロニクス　第3章 §3.1　★★★ 光線の Hamiltonian を4次まで展開すると、回転対称な系の4次の項は3つの不変量の2次式になる

第2章（第2章）までの結像の理論は、光線の Hamiltonian を光軸からのずれの2次で打ち切った近軸光学だった。2次で打ち切ると Hamilton 方程式は線形になり、光学系は行列式 $1$ の $2\times2$ 行列（ABCD 行列）で書け、物体の1点を出た光線はすべて像の1点に集まる。実際のレンズで像がぼけたりゆがんだりするのは、2次の先の項を捨てたからである。この章では、その捨てた項のうち最初の4次の項を取り戻す。

この章で取り出すモードは光線そのもので（波としてのモードはまだ使わない）、物質のモデルは屈折率 $n(\bm{r})$ と、屈折率が跳ぶ球面である。光と物質の結合は、光線の Hamiltonian $H=-\sqrt{n^2-\lvert \bm{p}\rvert ^2}$ に屈折率が入ることに尽きる。3.1節でこの $H$ を4次まで展開し、4次の部分 $H_4$ が光軸のまわりの回転で変わらない3つの量 $\lvert \bm{x}\rvert ^2$, $\bm{x}\cdot\bm{p}$, $\lvert \bm{p}\rvert ^2$ の2次式になることを示す。3.2節では、近軸の流れを基準にとった相互作用描像の1次摂動を当て、像の上のずれがただ1つの関数（この章では収差関数と呼ぶ）の微分で書けることを示す。3.3節と3.4節が「出てくるもの」で、収差関数の6つの係数のうち5つが像に現れる5つの収差（球面収差・コマ・非点収差・像面湾曲・歪曲）になること、コマの像が3対1の比を持つ円になることが正準変換であることの帰結であること、球面1枚の球面収差を厳密な光線追跡と比べ、非球面で消せることを順に見る。3.5節で置いた近似と、収差を測る量（Strehl 比と色のにじみ）を述べ、3.6節で学部の光学で習う波面収差の展開と並べる。

光線の Hamiltonian と近軸近似の位置づけ

光が全体として進む向きを $z$ 軸（光軸）にとり、$z$ を時刻の代わりの径数にする。光線の横の位置を $\bm{x}=(x,y)$、それに共役な運動量を $\bm{p}=(p_x,p_y)$ と書く。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章で示したとおり、$\bm{p}$ は屈折率 $n$ に光線の向きの単位ベクトルを掛けたものの横の成分で、光線の Hamiltonian は

$$H(\bm{x},\bm{p};z)=-\sqrt{n(\bm{x},z)^2-\lvert \bm{p}\rvert ^2}\tag{3.1}$$

である。この章では $\bm{x}$, $\bm{p}$ を光軸に垂直な面の中の2成分のベクトルとして太字で書く。$\lvert \bm{p}\rvert =n\sin\theta$（$\theta$ は光線が光軸となす角）なので、$\lvert \bm{p}\rvert /n$ は光線の傾きの正弦である。

近軸近似は、$\lvert \bm{p}\rvert /n$ と、光軸からの距離 $\lvert \bm{x}\rvert$ を屈折率が変わる長さで割ったものを小さいとして、$H$ を2次で打ち切る近似だった。同じ展開を1段先まで進めると、$H$ は

$$H=H_0+H_2+H_4+\mathcal{O}(6),\qquad H_k\ \text{は}\ (\bm{x},\bm{p})\ \text{について}\ k\ \text{次の同次式}\tag{3.2}$$

となる。奇数次の項が無いのは、系が光軸のまわりに回転対称で、$(\bm{x},\bm{p})\to(-\bm{x},-\bm{p})$（$180^\circ$ の回転）で $H$ が変わらないからである。$H_0$ は $\bm{x}$, $\bm{p}$ によらない定数で光線の形に関係しない。$H_2$ が近軸光学で、その係数で ABCD 行列が決まる。$H_4$ は Hamilton 方程式に $\bm{x}$, $\bm{p}$ の3次の項を足す。それが光線の位置に3次のずれを作るので、$H_4$ から出る収差を3次収差と呼ぶ。同じ理由で $H_6$ から出るものは5次収差である。

回転対称な $H_4$ の形

光学系が光軸のまわりの回転と、光軸を含む面についての鏡映で変わらないとする（普通のレンズ系はこの2つの対称性を持つ）。$\bm{x}$, $\bm{p}$ の多項式でこの2つの変換で変わらないものは、3つの量

$$\xi =\lvert \bm{x}\rvert ^2,\qquad \eta =\bm{x}\cdot\bm{p},\qquad \zeta =\lvert \bm{p}\rvert ^2\tag{3.3}$$

の多項式に限る。回転だけなら外積の $z$ 成分 $\bm{x}\times\bm{p}$ も不変だが、鏡映で符号が変わるので、偶数乗でしか入らない。その2乗は $(\bm{x}\times\bm{p})^2=\xi\zeta-\eta^2$ で、新しいものにならない。$H_4$ は4次なので $\xi$, $\eta$, $\zeta$ の2次式で、

$$H_4=g_1\zeta^2+g_2\zeta\eta+g_3\eta^2+g_4\xi\zeta+g_5\xi\eta+g_6\xi^2\tag{3.4}$$

の6つの係数で決まる（係数は一般に $z$ の関数）。4次の同次式は一般には $\bm{x}$, $\bm{p}$ の4成分について35個の係数を持つので、対称性が係数を6個にまで減らしたことになる。

一様な媒質（$n$ が一定）では $H=-n\sqrt{1-\zeta /n^2}$ を $\zeta$ で展開して

$$H=-n+\frac{\zeta }{2n}+\frac{\zeta ^2}{8n^3}+\mathcal{O}(\zeta ^3)\tag{3.5}$$

となり、$H_4=\zeta ^2/(8n^3)$ である。ここには $\bm{x}$ が入らない。一様な媒質では光線は直線で、横のずれ $\bm{x}$ は $z$ について厳密に $\mathrm{d}\bm{x}/\mathrm{d} z=\bm{p}/\sqrt{n^2-\zeta }$ で増える。近軸ではこれを $\bm{p}/n$ に置き換えたので、その差が $H_4$ に入っている。