授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第3章 §3.6　★★ 学部の光学の波面収差の展開 $W_{040}\rho^4+W_{131}h\rho^3\cos\varphi+\cdots$ は、この章の収差関数 (3.11) と同じ5つの単項式を持つ

波面収差の展開

学部の光学では、収差を光線のずれでなく波面のずれで書くことが多い。射出瞳（像の側から見た絞りの像）の上の位置を、瞳の半径で割った極座標 $(\rho,\varphi)$ で、物体の高さを最大の高さで割った量を $h$ で表し、実際の波面が理想の球面波（近軸の像点に集まる球面）から光路長でどれだけずれるかを

$$W(h,\rho,\varphi)=W_{040}\rho^4+W_{131}h\rho^3\cos\varphi+W_{222}h^2\rho^2\cos^2\varphi+W_{220}h^2\rho^2+W_{311}h^3\rho\cos\varphi\tag{3.18}$$

と展開する。添字の3つの数字は $h$, $\rho$, $\cos\varphi$ の冪で、5つの項が順に球面収差・コマ・非点収差・像面湾曲・歪曲である。光線のずれは波面の傾きに比例し、射出瞳から像面までの距離 $R_{\mathrm e}$ と像の側の屈折率 $n_{\mathrm i}$ を使って、大きさで $\Delta\bm{x}\approx(R_{\mathrm e}/n_{\mathrm i})\nabla_{\!\rho}W$ と書く（$\nabla_{\!\rho}$ は瞳の上の位置についての勾配。前の符号は教科書の流儀で変わる）。

この章の式 (3.11) に $\bm{X}_0=(h,0)$, $\bm{P}_0=\rho(\cos\varphi,\sin\varphi)$ を入れると、$U=h^2$, $V=h\rho\cos\varphi$, $Q=\rho^2$ なので

$$W(\bm{X}_0,\bm{P}_0)=w_1\rho^4+w_2h\rho^3\cos\varphi+w_3h^2\rho^2\cos^2\varphi+w_4h^2\rho^2+w_5h^3\rho\cos\varphi+w_6h^4$$

となり、式 (3.18) と同じ単項式が並ぶ。単項式がそろうのは偶然でなく、どちらも回転と鏡映で変わらない3つの量 $h^2$, $h\rho\cos\varphi$, $\rho^2$ の2次式だからである。違いは変数の取り方で、波面収差は瞳の上の位置を、この章は物体面での光線の向き $\bm{P}_0$ を使い、像の上のずれは前者では瞳の位置についての勾配、この章では定理 3.2 の $\bm{P}_0$ についての勾配になる。物体面の向き $\bm{P}_0$ と瞳の上の位置は近軸の流れで1次の関係にあるので、係数は互いに定数倍で移り合い（絞りの位置で倍率が変わる）、5つという数と各項の形は変わらない。Seidel の和（面ごとの寄与を足して各 $W_{ijk}$ を出す公式）は、この章の言葉では式 (3.9) の積分を面ごとの和に書いたものである。$W(\bm{X}_0,\bm{P}_0)$ の $w_6h^4$ に当たる項 $W_{400}$ は、光線の像に現れないので普通は書かない。また、波面の展開では $\rho^2$ の項 $W_{020}\rho^2$（デフォーカス）と $h\rho\cos\varphi$ の項 $W_{111}$（像の位置の横ずれ）を足して、像面の選び方の自由を表す。これらは $H_2$ の側（近軸）の量で、この章の (3.13) の $\delta z$ に当たる。

学部の光学で「像面湾曲」として習う Petzval 面は、非点収差が無い（$w_3=0$）ときに残る像面の反りで、空気中の薄いレンズを並べた系ではその曲率が各レンズの $\phi_i/n_i$ の和（Petzval 和）で決まる。1枚の薄い凸レンズでは Petzval 面はレンズの側へ凹み、曲率半径の大きさは $nf$ である。この章の総合問題で、放物型の媒質でも同じ向きの反りが出ることを見る。