この章のまとめ

(1) $H_2=\lvert \bm{p}\rvert ^2/(2n_0)+n_0\alpha^2\lvert \bm{x}\rvert ^2/2$ の Hamilton 方程式 $\bm{x}'=\bm{p}/n_0$, $\bm{p}'=-n_0\alpha^2\bm{x}$ を解いて

$$M(z)=\begin{pmatrix}\cos\alpha z&\dfrac{\sin\alpha z}{n_0\alpha}\\[4pt]-n_0\alpha\sin\alpha z&\cos\alpha z\end{pmatrix},\qquad \det M=\cos^2\alpha z+\sin^2\alpha z=1 .$$

$z=\pi/\alpha$ で $A=D=-1$, $B=C=0$。物体面の点は向きによらず $-\bm{X}_0$ に集まり、倍率 $-1$ の倒立の像ができる。長さ $\pi/\alpha=6.28\,\mathrm{mm}$ である。

(2) 例題 3.1 から $H_4=H_2^2/(2n_0)$ で、$H_2$ は近軸の流れで保存するので、近軸の光線に沿って $H_2=Q/(2n_0)+n_0\alpha^2U/2$（$U=\lvert \bm{X}_0\rvert ^2$, $Q=\lvert \bm{P}_0\rvert ^2$）のまま一定である。したがって

$$W(\bm{X}_0,\bm{P}_0)=\frac{\pi}{\alpha}\cdot\frac{1}{2n_0}\Bigl(\frac{Q}{2n_0}+\frac{n_0\alpha^2U}{2}\Bigr)^2 =\frac{\pi}{8\alpha n_0^3}Q^2+\frac{\pi\alpha}{4n_0}UQ+\frac{\pi n_0\alpha^3}{8}U^2 ,$$

$$w_1=\frac{\pi}{8\alpha n_0^3},\quad w_2=w_3=0,\quad w_4=\frac{\pi\alpha}{4n_0},\quad w_5=0,\quad w_6=\frac{\pi n_0\alpha^3}{8}.$$

(3) $w_1\ne0$, $w_4\ne0$ なので球面収差と像面湾曲がある。$V=\bm{X}_0\cdot\bm{P}_0$ を含む項が無いので、コマ・非点収差・歪曲は3次の範囲で無い。$H_4$ が $H_2$ だけの関数で、$H_2$ が $\bm{X}_0\cdot\bm{P}_0$ を含まないことが、この3つが消える理由である。

(4) 定理 3.2 で $A=-1$、$\partial W/\partial\bm{P}_0=\frac{\pi}{\alpha}\cdot\frac{1}{n_0}H_2\cdot\frac{\bm{P}_0}{n_0}$ なので、$xz$ 面の中で

$$\Delta x=-\frac{\pi}{\alpha n_0^2}\Bigl(\frac{\rho^2}{2n_0}+\frac{n_0\alpha^2h^2}{2}\Bigr)\rho=-\frac{\pi\rho}{2\alpha n_0}\Bigl(\frac{\rho^2}{n_0^2}+\alpha^2h^2\Bigr).$$

数値では $\Delta x=-1.078\,\mu\mathrm m$。厳密な光線では $\Omega\pi/\alpha=\pi/\sqrt{1-\alpha^2h^2-\rho^2/n_0^2}$ で、$x(\pi/\alpha)+h=-1.056\,\mu\mathrm m$ となり、2パーセントの差は5次収差である。厳密な式を $h$, $\rho$ について3次まで展開すると、$\Omega\pi/\alpha\approx\pi\bigl(1+\frac12(\alpha^2h^2+\rho^2/n_0^2)\bigr)$ から上の $\Delta x$ がそのまま出る。

(5) (4) のずれのうち $\rho$ の1次の部分 $-\frac{\pi\alpha h^2}{2n_0}\rho$ が像面湾曲で、像面の近くでは光線は $\mathrm{d} x/\mathrm{d} z=p/n_0=-\rho/n_0$（$D=-1$）で動くので、像面を $\delta z$ ずらしたときの位置の変化 $-\rho\,\delta z/n_0$ でこれを打ち消す $\delta z$ が、高さ $h$ の点の像の位置である：

$$\delta z=-\frac{\pi\alpha h^2}{2}.$$

像の面は $z=\pi/\alpha-h^2/(2R_{\mathrm P})$, $R_{\mathrm P}=1/(\pi\alpha)=0.637\,\mathrm{mm}$ の曲面で、棒の内側（物体の側）へ凹む。$h=0.2\,\mathrm{mm}$ では $\delta z=-0.0314\,\mathrm{mm}$ である。（$\rho\to0$ の2本の厳密な光線の交点を数値で求めても $-0.0314\,\mathrm{mm}$ になる。）この反りは、正の屈折力を持つ系の Petzval 面が凸レンズの側へ凹むのと同じ向きである。