この章のまとめ

(1) $\Phi_{\mathrm o}=1/500$, $\Phi_{\mathrm e}=1/25$（単位 $\mathrm{mm^{-1}}$）を式 (2.7) の前の積に入れて

$$M=\begin{pmatrix}1-\frac{525}{500}&525\\-\frac1{500}-\frac1{25}+\frac{525}{500\times25}&1-\frac{525}{25}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0.05&525\\0&-20\end{pmatrix}.$$

$C=-\frac{1}{500}-\frac{20}{500}+\frac{21}{500}=0$、$AD-BC=(-0.05)(-20)-0=1$。$\Phi=-C=0$ なので、式 (2.3)・(2.5) の焦点と主面の位置は分母が $0$ で無限遠に去る。平行に入った光は平行に出て（$p_1=0$ なら $p_2=0$）、どの距離にも集まらない。このような系を無焦点系と呼ぶ。$AD=1$ なので、位置の倍率 $A$ と角の倍率 $D$ は互いに逆数になる。

(2) $x_1$ によらず $p_2=Dp_1=-20\,\theta$ で、角の倍率は $-f_{\mathrm o}/f_{\mathrm e}=-20$。符号が負なので像は倒立で、星の並びは上下左右が逆に見える。

(3) 射出瞳は、開口絞り（対物レンズ）を接眼レンズを通して像の側から見た像である。接眼レンズの後ろ $z$ までの行列 $T(z)M$ の右上の成分は $525-20z$ で、これが $0$ になる $z=26.25\,\mathrm{mm}$ に対物レンズの像ができる。そこでの位置の倍率は $A=-0.05$ なので、射出瞳の直径は $50\times0.05=2.5\,\mathrm{mm}$。レンズの公式で確かめると、対物レンズは接眼レンズの前 $525\,\mathrm{mm}$ にあるので $\frac1{525}+\frac1{s'}=\frac1{25}$ から $s'=26.25\,\mathrm{mm}$、倍率 $-26.25/525=-0.05$ で一致する。目の瞳をこの位置に置くと、対物レンズに入ったすべての光が目に入る。

(4) 射出瞳の面までの行列は $T(26.25)M=\bigl(\begin{smallmatrix}-0.05&0\\0&-20\end{smallmatrix}\bigr)$ である。周縁光線は $(25,0)\mapsto(-1.25,0)$、主光線は $(0,\theta)\mapsto(0,-20\theta)$。入射瞳で $\mathcal I=x_{\mathrm m}p_{\mathrm c}-x_{\mathrm c}p_{\mathrm m}=25\theta$、射出瞳で $(-1.25)(-20\theta)-0=25\theta$ で等しい。瞳の半径と視野の角の積が $25\,\mathrm{mm}\times\theta=1.25\,\mathrm{mm}\times20\theta$ と保たれている。見かけの視野の半角が $20^\circ$ なら、近軸では実視野の半角は $20^\circ/20=1^\circ$ である（大きな角では近軸の比例は崩れるが、ここでは近軸の見積もりとする）。

(5) 点光源の星は、望遠鏡が集めた光がすべて網膜の1点に集まる。集める面積は対物レンズの面積で、肉眼では目の瞳の面積なので、明るさは $(50/7)^2=51.0$ 倍になる。広がった物体では事情が違う。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章で示したとおり、吸収の無い系では空気中の放射輝度は変わらないので、射出瞳から目に入る光の放射輝度は月の表面の放射輝度に等しい。網膜の照度は、その放射輝度と、目の瞳のうち光で満たされた部分の面積で決まる（式 (2.16) の円錐の角は目の瞳の大きさで決まる）。肉眼では直径 $7\,\mathrm{mm}$ の瞳全体が満たされるが、望遠鏡では直径 $2.5\,\mathrm{mm}$ の射出瞳の分しか満たされないので、表面の明るさは $(2.5/7)^2=0.128$ 倍に暗くなる。射出瞳を目の瞳より大きくしても、目の瞳より外の光は入らないので、上限は肉眼と同じ明るさである。これは放射輝度が光学系で増えないこと（Liouville の定理）の帰結で、望遠鏡で広がった物体の表面を肉眼より明るく見ることはできない。射出瞳の直径は $D_{\mathrm o}/\lvert \text{角の倍率}\rvert$ なので、これが $7\,\mathrm{mm}$ に等しくなる常用倍率は $50/7=7.14$ 倍である。これより低い倍率では射出瞳が目の瞳からはみ出して対物レンズの縁の光が無駄になり、これより高い倍率では広がった物体の表面が暗くなる。