何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第2章 §2.6　★ 焦点距離は主面の位置を知らなくても Bessel の方法で測ることができる。授業のレンズの公式・鏡の式・符号の流儀を、この章の式と並べる

焦点距離を測る

この章で確かめられる量の中心は焦点距離である。物体と像の位置を測って式 (2.12) に入れる方法は、厚いレンズでは主面の位置が分からないと距離 $s$, $s'$ が決まらないので使いにくい。主面の位置を知らずに測る方法として、Bessel の方法がある。物体（光る格子など）とスクリーンを距離 $L$ だけ離して固定し、その間でレンズを動かすと、$L>4f$ ならスクリーンに像が映るレンズの位置が2か所ある。空気中の薄いレンズで、物体からレンズまでを $a$ とすると $\frac1a+\frac1{L-a}=\frac1f$、つまり $a^2-La+Lf=0$ の2つの根で、その差 $e$ は

$$e^2=L^2-4Lf,\qquad f=\frac{L^2-e^2}{4L}\tag{2.19}$$

を満たす。測るのは物体とスクリーンの間隔 $L$ と、レンズを動かした距離 $e$ だけで、どちらもレンズのどこを基準にとっても同じ値になる。

2つの位置は互いに物体と像の距離を入れ替えたもので、倍率はそれぞれ $-(L-a)/a$ と $-a/(L-a)$、積は $1$ である。厚いレンズでは、$\mathrm H$ と $\mathrm H'$ の間の区間だけ光線は「進まずに」次の主面へ移るので、式 (2.19) の $L$ を主面の間隔 $\Delta$ だけ引いた $L-\Delta$ に置き換える。$\Delta$ を無視した分だけ、得られる焦点距離はわずかに大きく出る。

ほかに、レンズの後ろに平面鏡を置き、物体を前の焦点面に置くと反射光が物体の面に戻って像を結ぶこと（自己視準）を使う方法もある。いずれも、光線の幾何（近軸の結像）だけを使って焦点距離という1つの数を取り出している。結像の質（どれだけ鋭い点に集まるか）は、収差と回折の章で別の量として測る。

式の対応

学部の光学の授業では、レンズの公式を「物体と像の距離をどちらも実在する側で正にとる」流儀で書くことが多い。この章では距離を $z$ の向きに沿った位置で決め、主面と焦点から測る量を区別した。2つの書き方の対応は次のとおりである。

授業の作図では、主面に平行な光線・焦点を通る光線・主点を通る光線の3本を引いて像を求める。この3本は、行列の言葉では $p_1=0$ の光線、$\mathrm F$ を通る光線、節点（両側が同じ媒質なら主点）を通る光線で、主面から主面への行列 (2.6) の下ではそれぞれ $\mathrm F'$ を通る、平行に出る、向きを変えない、と行列の1つの成分だけで振る舞いが決まる3本である。2本で像の位置は決まり、3本目は作図の確かめになる。