出てくるもの（3）：光線追跡の実際と何を近似したか

光学と量子エレクトロニクス　第2章 §2.5　★★ 近軸を使わずに Snell の法則を1面ずつ厳密に当てると、光軸から離れた光線は手前で軸を横切る。ずれは高さの2乗から始まり、レンズの向きで4倍近く変わる

厳密な光線追跡の手順

近軸の行列は、面の上の点を面の頂点の平面で代用し、$\sin\theta$ を $\theta$ で代用した。実際のレンズを設計するときは、この2つの代用をせずに光線を1面ずつ追う。手順は2つの操作の繰り返しである。

移行：光線を直線 $\bm{r}=\bm{r}_0+s\,\bm{t}$（$\bm{t}$ は単位の向きベクトル）として、次の面との交点を求める。中心 $\bm{c}$、半径 $\lvert R\rvert$ の球面なら $\lvert \bm{r}_0+s\bm{t}-\bm{c}\rvert ^2=R^2$ の2次方程式で、2つの根のうち頂点に近いほうをとる。

屈折：交点での面の単位法線 $\bm{N}$ を光の進む側に向けてとり、$\cos i=\bm{t}\cdot\bm{N}$ とする。面に沿った運動量 $n\bm{t}-(n\bm{t}\cdot\bm{N})\bm{N}$ が保存する（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章の Snell の法則のベクトル形）ことと、$\bm{t}'$ が単位ベクトルであることから

$$n'\bm{t}'=n\bm{t}+\bigl(n'\cos i'-n\cos i\bigr)\bm{N},\qquad n'\sin i'=n\sin i\tag{2.17}$$

になる。$\bm{N}$ の成分だけが変わり、変わり方は屈折角 $i'$ の余弦で決まる。

この2つの操作は近軸の行列の伝搬 $T$ と屈折の行列に対応し、どちらも正準変換である（屈折は面に沿った運動量を保つ写像、移行は自由な流れ）。したがって近軸を使わない光線追跡でも、相空間の体積は保たれる。近軸との違いは写像が線形でなくなることだけで、その非線形性が収差である。

球面1つの厳密な結像

屈折率 $1$ の空気から屈折率 $n$ のガラスへの、曲率半径 $R>0$ の球面に、光軸に平行な光線が高さ $h$ で入るとする。法線は球の中心を通るので、入射角は $\sin i=h/R$、屈折角は $\sin i'=h/(nR)$ で、屈折した光線は光軸と $i-i'$ の角をなす。球の中心・入射点・光軸との交点が作る三角形に正弦定理を当てると、中心から交点までの距離は $R\sin i'/\sin(i-i')$ なので、面の頂点から交点までの距離は

$$L(h)=R+\frac{R\sin i'}{\sin(i-i')}=\frac{nR}{n-1}-\frac{h^2}{2nR(n-1)}+\mathcal{O}(h^4)\tag{2.18}$$

になる。展開の第1項は近軸の焦点（屈折力 $(n-1)/R$、後ろが屈折率 $n$ なので $f'=nR/(n-1)$）で、第2項から先が厳密な交点のずれである。光軸から離れた光線ほど手前で軸を横切り、ずれは $h^2$ に比例して始まる。このずれ $L(0)-L(h)$ を縦の球面収差と呼ぶ。

平凸レンズの向き

屈折率 $1.5$、曲率半径 $50\,\mathrm{mm}$、中心の厚さ $5\,\mathrm{mm}$ の平凸レンズを考える。近軸の焦点距離は、凸面を光の来る側に向けても平面を向けても $f'=R/(n-1)=100\,\mathrm{mm}$ で同じである（後側焦点距離は、凸面が先なら後面から $96.667\,\mathrm{mm}$、平面が先なら $100\,\mathrm{mm}$）。光軸に平行な光線の束を、2つの向きのそれぞれで厳密に追跡した結果が図 2.2 と図 2.3 である。

平面を先に向けた場合は、光線はガラスの中を光軸に平行なまま進み、後面の球面1つで屈折する。式 (2.18) と同じ計算をガラスから空気への屈折について行うと、$h^2$ の係数は$n^2/\bigl(2R(n-1)\bigr)=0.045\,\mathrm{mm^{-1}}$ になり、光線追跡の結果と一致する。空気からガラスへの球面1つの係数 $1/\bigl(2nR(n-1)\bigr)$ の $n^3=3.4$ 倍である。凸面を先に向けると、光線は凸面で一度曲がり、平面でもう一度曲がる。どちらの面でも入射角が小さく、係数は $0.01157\,\mathrm{mm^{-1}}$ と、平面を先に向けた場合の約 $1/3.9$ になる。同じ屈折力を1つの面で大きく曲げて得るより、2つの面に分けて少しずつ曲げたほうが球面収差は小さい。平凸レンズを平行光の側に凸面を向けて使うのは、この理由による。球面収差の大きさがレンズの形（2つの面への曲げ方の配分）でどう変わるかを、Hamiltonian を4次まで展開して一般に扱うのが第3章である。

何を近似したか

この章は2段の近似を重ねた。1段目は幾何光学そのもので、波長を構造の長さに比べて $0$ に送った。2段目は近軸近似で、光線の高さと傾きを小さいとして $H$ を2次で打ち切った。

1段目の近似は、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章で示したように、波動方程式に $a\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_0\mathcal S}$ を入れたときの $k_0\to\infty$ の極限で、量子力学の WKB 近似と同じ構造をしている。この近似は、光線が1点に集まる焦点や光線の包絡線（火線）の近くで破れる。近軸の結像は「すべての光線が1点に集まる」ことを要求するので、その1点の近傍こそ幾何光学が使えない場所である。焦点の大きさを決めるのは回折で、第6章で扱う。

2段目の近似の誤差は、図 2.3 で見たとおり高さの2乗から始まる。式 (2.18) の展開の係数は面の曲率と屈折率だけで決まり、その全体の分類が Seidel の収差である（第3章）。