出てくるもの2：基準座標で $L$ を分ける

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第4章 §2.4.4　★★★ 離散 Fourier 変換で $L$ は $N$ 個の独立な調和振動子の和になる。$k=0$ の振動子が全運動量で、各モードのエネルギーは別々に保存する

基準座標

前の節では運動方程式に平面波を入れた。ここでは同じことを $L$ の段階で行い、$L$ そのものを独立な部分に分ける。基準座標 $Q_k$ を、ずれ $u_j$ の離散 Fourier 変換

$$Q_k=\frac1{\sqrt N}\sum_{j=0}^{N-1}u_j\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kja},\qquad u_j=\frac1{\sqrt N}\sum_kQ_k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}\tag{2.4.10}$$

で定める（$k$ は Brillouin 域の中の $N$ 個の値）。前に $1/\sqrt N$ を振り分けたので、この変換はユニタリで、逆変換で元に戻る。指数の符号は記法の約束（空間の順変換は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}$）に合わせた。$u_j$ は実数なので $Q_{-k}=Q_k^*$ で、$N$ 個の複素数 $Q_k$ が持つ独立な実数の個数は $N$ のままである。

式 (2.4.10) を $L$ に代入する。直交関係 $\frac1N\sum_j\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k-k')ja}=\delta_{kk'}$ を使うと、運動エネルギーは$\sum_j\frac12m\dot u_j^2=\sum_k\frac12m\dot Q_k\dot Q_{-k}$ になる。ばねの伸びは $u_{j+1}-u_j=\frac1{\sqrt N}\sum_kQ_k(\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}-1)\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}$ で、$\lvert \mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}-1\rvert ^2=4\sin^2(ka/2)$ から

$$L=\sum_k\frac12m\bigl(\dot Q_k\dot Q_{-k}-\omega(k)^2Q_kQ_{-k}\bigr)=\sum_k\frac12m\bigl(\lvert \dot Q_k\rvert ^2-\omega(k)^2\lvert Q_k\rvert ^2\bigr)\tag{2.4.11}$$

になる。$\omega(k)$ は式 (2.4.7) である。原子の座標では隣どうしが結びついていた $L$ が、基準座標では $k$ ごとの和に分かれた。$Q_k$ と $Q_{-k}$ だけは互いに結びつくが、これは1つの実数の振動子を複素数で書いた結果で、$Q_k$ の実部と虚部に分ければ実数の振動子2個になる。

Hamiltonian と各モードのエネルギー

$Q_k$ に共役な運動量は、式 (2.4.11) で $\dot Q_k$ が $k$ の項と $-k$ の項の2か所に現れることに注意して

$$P_k=\frac{\partial L}{\partial \dot Q_k}=m\dot Q_{-k}$$

である。第1部第8章の Legendre 変換 $H=\sum_kP_k\dot Q_k-L$ から

$$H=\sum_k\Bigl(\frac{P_kP_{-k}}{2m}+\frac12m\,\omega(k)^2Q_kQ_{-k}\Bigr)=\sum_kE_k,\qquad E_k=\frac12m\bigl(\lvert \dot Q_k\rvert ^2+\omega(k)^2\lvert Q_k\rvert ^2\bigr)\tag{2.4.12}$$

を得る。Hamilton 方程式 $\dot Q_k=\partial H/\partial P_k=P_{-k}/m$、$\dot P_k=-\partial H/\partial Q_k=-m\omega(k)^2Q_{-k}$ から $\ddot Q_k=-\omega(k)^2Q_k$ で、$E_k$ は $k$ ごとに保存する。列のエネルギーは $N$ 個の振動子に分かれて入り、調和近似の範囲では、ある振動子から別の振動子へは移らない。

$k=0$ のモードと Noether の保存量

$k=0$ では $\omega(0)=0$ で、式 (2.4.11) の $k=0$ の項は $\frac12m\dot Q_0^2$ だけになる。$Q_0$ は $L$ に現れない循環座標で、共役な運動量 $P_0=m\dot Q_0$ が保存する。式 (2.4.10) から $Q_0=\frac1{\sqrt N}\sum_ju_j$ なので、

$$\sqrt N\,P_0=\sum_jm\dot u_j$$

は列の全運動量である。第2節の要点の箱で、一様な並進 $u_j\to u_j+\epsilon$ に Noether の定理を当てて得た保存量と同じものが、基準座標では「角振動数 $0$ のモードの運動量」として現れた。連続的な対称性があると、その向きに動かしても位置エネルギーが変わらないので、角振動数 $0$ のモードが必ず1つある。