出てくるもの3：格子間隔を $0$ に送ると弦の場になる

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第4章 §2.4.5　★★★ $a\to0$ で $\rho=m/a$ と $Y=Ka$ を固定すると、列の $L$ は Lagrangian 密度の積分になり、運動方程式は波動方程式になる

何を固定して $a$ を $0$ に送るか

列の全長 $\ell=Na$ を固定し、原子を細かく多くしていく（$a\to0$、$N\to\infty$）。このとき $m$ と $K$ をそのままにすると、列全体の質量 $Nm$ は無限大になり、音速 $v=a\sqrt{K/m}$ は $0$ になってしまう。意味のある極限を取るには、巨視的に測れる量を固定する。

$$\rho=\frac ma\quad(\text{単位の長さあたりの質量}),\qquad Y=Ka\quad(\text{単位の伸び率あたりの張力})\tag{2.4.13}$$

の2つである。$\rho$ は線密度、$Y$ は張力・Young 率×断面積をまとめた1次元の弾性率である。$Y$ の意味は次のとおり。長さ $a$ のばねを $\Delta$ だけ伸ばすと張力は $K\Delta=Ka\cdot(\Delta/a)$ で、伸び率 $\Delta/a$ に掛かる係数が $Y$ になる。同じ材料の棒なら、原子の間隔をどう刻んでも $\rho$ と $Y$ は変わらない。

和が積分に、差が微分になる

原子 $j$ のずれ $u_j(t)$ を、位置 $x=ja$ の関数の値 $u(x,t)$ とみなす。関数 $u(x,t)$ が場で、$x$ は場の値に付けた名札（添字）であって、力学変数ではない。$a\to0$ で隣どうしの差は微分になり、和は積分になる。

$$u_{j+1}-u_j=a\,\frac{\partial u}{\partial x}(ja,t)+\mathcal{O}(a^2),\qquad \sum_ja\,f(ja)\to\int_0^\ell f(x)\,\mathrm{d} x .$$

これを式 (2.4.1) に入れ、和の中に $a$ を1つずつ作ると

$$L=\sum_ja\Bigl[\frac12\,\frac ma\,\dot u_j^2-\frac12Ka\Bigl(\frac{u_{j+1}-u_j}{a}\Bigr)^2\Bigr] \ \longrightarrow\ \int_0^\ell\Bigl[\frac12\rho\Bigl(\frac{\partial u}{\partial t}\Bigr)^2-\frac12Y\Bigl(\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)^2\Bigr]\mathrm{d} x$$

となる。

運動エネルギーの密度 $\frac12\rho(\partial_tu)^2$ は原子の運動エネルギーを均したもの、位置エネルギーの密度 $\frac12Y(\partial_xu)^2$ はばねのエネルギーを均したものである。$\mathcal L$ が $u$ の空間微分を含むことが、場の Lagrangian の新しい点で、離散の列で隣どうしの差だった項がそのまま空間微分になった。

運動方程式も極限で波動方程式になる

運動方程式 (2.4.3) の両辺を $a$ で割り、$\rho$ と $Y$ で書き直すと

$$\rho\,\ddot u_j=Y\,\frac{u_{j+1}+u_{j-1}-2u_j}{a^2}$$

になる。右辺の分数は2階微分の差分近似で、$a\to0$ で $\partial_x^2u$ になる。したがって

$$\rho\,\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=Y\,\frac{\partial ^2u}{\partial x^2},\qquad v=\sqrt{\frac Y\rho}=a\sqrt{\frac Km}\tag{2.4.15}$$

で、速さ $v$ の波動方程式になる。$v$ は式 (2.4.8) の音速と同じである。

同じ方程式は、極限の $L$ (2.4.14) に直接変分を当てても出る。$u$ を $u+\delta u$ にずらすと（端と始めと終わりの時刻では $\delta u=0$）、

$$\delta S=\int\mathrm{d} t\int\mathrm{d} x\,\bigl(\rho\,\partial_tu\,\partial_t\delta u-Y\,\partial_xu\,\partial_x\delta u\bigr) =\int\mathrm{d} t\int\mathrm{d} x\,\bigl(-\rho\,\partial_t^2u+Y\,\partial_x^2u\bigr)\delta u$$

（$t$ と $x$ のそれぞれで部分積分し、端の項は $\delta u=0$ で消える）。任意の $\delta u$ で $\delta S=0$ なので式 (2.4.15) を得る。第1部第4章の Euler–Lagrange 方程式を、時間と空間の2つの変数について同時に行ったものである。一般の $\mathcal L(\phi,\partial_\mu\phi)$ に対するこの手続きは 第2部第5章で場の Euler–Lagrange 方程式として整える。

極限で捨てたもの

極限の弦の分散関係は $\omega=v\lvert k\rvert$ で、図 2.4.2 の実線である。列の分散関係を $ka$ について展開すると

$$\omega(k)^2=v^2k^2\Bigl(1-\frac{(ka)^2}{12}+\mathcal{O}\bigl((ka)^4\bigr)\Bigr),\qquad \frac{\omega(k)}{v\lvert k\rvert }=1-\frac{(ka)^2}{24}+\cdots\tag{2.4.16}$$

で、弦との違いは $(ka)^2$ の大きさである。ずれが $1\%$ 以内に収まるのは $\lvert ka\rvert <0.491$、つまり波長が $12.8a$ より長い波である（検算 scripts/verify_ch2-04.py）。捨てたものは2つある。1つは分散関係のこの曲がりで、$\mathcal L$ に $\frac{Y a^2}{24}(\partial_x^2u)^2$ という空間の2階微分の項を足すと $(ka)^2$ の補正まで再現することができる。もう1つは Brillouin 域の外のモードの扱いで、列には $\lvert k\rvert \le\pi/a$ のモードしか無いのに、弦には $\lvert k\rvert$ がいくらでも大きいモードがある。弦の場は、格子定数より細かい構造を持たない理想化で、波数に上限が無い。場の量子論で積分が大きい $k$ で発散するのは、この上限を取り払ったためで、$\pi/a$ のような上限（切断）を入れ直す話は第5部のくりこみの章（第5部第9章）で扱う。

両端を固定した列と弦

周期境界条件の代わりに、原子 $j=1,\dots,N$ の両側に壁を置き、$u_0=u_{N+1}=0$ とする。運動方程式 (2.4.3) は同じで、解は

$$u_j\propto\sin\frac{\pi lj}{N+1}\cos\omega_lt,\qquad \omega_l=2\sqrt{\frac Km}\sin\frac{\pi l}{2(N+1)}\qquad(l=1,\dots,N)$$

である（$\sin$ は $j=0$ と $j=N+1$ で $0$ になる）。全長を $\ell=(N+1)a$ として $a\to0$ にすると $\omega_l\to\pi lv/\ell$ で、両端を固定した弦の固有振動数になる。図 2.4.3 のように、モードの形は弦の正弦波を原子の位置で拾ったものに厳密に一致し、違うのは角振動数だけである。ただし $l$ が $N$ に近いモードでは、原子の位置で拾った値は波長の長い別の正弦波の値と符号を交互に変えたものに等しく、弦の短い波長の形とは見かけが大きく違う。

横に揺れる弦

ここまでは原子が列の向きに動く縦波を考えた。張力 $T_{\mathrm s}$ で張った糸に、間隔 $a$ で質量 $m$ の玉を付け、玉が糸と垂直な向きに $y_j$ だけずれる横波でも、同じ $L$ になる。隣の玉の間の糸の長さは $\sqrt{a^2+(y_{j+1}-y_j)^2}\approx a+(y_{j+1}-y_j)^2/(2a)$ で、張力に逆らって糸を伸ばす仕事が位置エネルギーなので$\frac{T_{\mathrm s}}{2a}(y_{j+1}-y_j)^2$ になる。これは式 (2.4.1) で $K=T_{\mathrm s}/a$ としたものと同じで、$Y=Ka=T_{\mathrm s}$ である。極限は張力 $T_{\mathrm s}$・線密度 $\rho$ の弦の波動方程式で、速さは $\sqrt{T_{\mathrm s}/\rho}$ になる。章の題の「弦の場」はこの横波のことで、縦波の棒と横波の弦は、$Y$ の意味が違うだけで同じ $\mathcal L$ を持つ。