当てる道具：輪を1つ回す並進と離散 Fourier 変換

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第3章 §2.3.2　★★★ $\hat H$ と並進 $\hat T$ が交換することから、$\hat T$ の固有ベクトル（離散 Fourier の波）がそのまま $\hat H$ の固有ベクトルになり、固有値が $\varepsilon (k)=\varepsilon _{\mathrm a}-2t\cos(ka)$ にまとまる

並進の演算子とその固有値

輪のすべての原子を1つ隣へずらす演算子 $\hat T$ を

$$\hat T| j \rangle =| j+1 \rangle \qquad(j=1,\dots,N,\ | N+1 \rangle =| 1 \rangle )\tag{2.3.4}$$

で定める。$\hat T$ は基底の番号を入れ替えるだけなので、内積を保つユニタリ演算子である。$N$ 回ずらすと元に戻るので $\hat T^N=1$ が成り立つ。

$\hat H$ は「どの原子も同じ $\varepsilon _{\mathrm a}$ を持ち、どの隣どうしも同じ $t$ でつながる」形をしているので、全体を1つずらしても変わらない。式で書くと$\hat T\hat H\hat T^{-1}=\hat H$、つまり

$$\left[\hat H,\,\hat T\right]=0\tag{2.3.5}$$

である。実際、$\hat T| j \rangle \langle j+1 |\hat T^{-1}=| j+1 \rangle \langle j+2 |$ となって、和 (2.3.1) の項が番号を1つずらした項に移るだけである。

$\hat T$ の固有値 $\lambda$ は $\hat T^N=1$ から $\lambda^N=1$ を満たすので、1の $N$ 乗根である。これを

$$\lambda=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka},\qquad k=\frac{2\pi}{Na}\,\nu\qquad(\nu=0,1,\dots,N-1)\tag{2.3.6}$$

と書く。$N$ 個の $\lambda$ はすべて異なる。対応する固有ベクトルは

$$| k \rangle =\frac{1}{\sqrt N}\sum_{j=1}^{N}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}| j \rangle\tag{2.3.7}$$

である。確かめると、$\hat T| k \rangle =N^{-1/2}\sum_j\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}| j+1 \rangle =N^{-1/2}\sum_{j'}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(j'-1)a}| j' \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka}| k \rangle$ となる。ここで $j'=j+1$ と置き直した和が再び $1$ から $N$ を一巡するのは、$\mathrm{e}^{\mathrm{i} kNa}=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\nu}=1$ だからで、これが $k$ を式 (2.3.6) の値に限る条件そのものである。$N$ 個の $| k \rangle$ は互いに直交し（$\langle k | k' \rangle =N^{-1}\sum_j\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k'-k)ja}=\delta_{kk'}$。等比級数の和が $k\neq k'$ で $0$ になる）、$N$ 次元の空間の基底をなす。基底 $| j \rangle$ から $| k \rangle$ への変換は離散 Fourier 変換である。

交換する演算子は固有ベクトルを共有する

証明

$\hat T| k \rangle =\lambda| k \rangle$ とすると、$\hat T(\hat H| k \rangle )=\hat H\hat T| k \rangle =\lambda(\hat H| k \rangle )$ なので、$\hat H| k \rangle$ も $\hat T$ の固有値 $\lambda$ の固有ベクトルか零ベクトルである。$\lambda$ の固有空間は1次元なので、$\hat H| k \rangle$ は $| k \rangle$ の定数倍であり、その定数が $\hat H$ の固有値になる。

この命題から、固有値は $\varepsilon (k)=\langle k | \hat H | k \rangle$ を計算するだけで求まる。$\hat H| k \rangle$ の $| j \rangle$ の係数は$N^{-1/2}\bigl[\varepsilon _{\mathrm a}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}-t\bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(j+1)a}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(j-1)a}\bigr)\bigr]=N^{-1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}\bigl[\varepsilon _{\mathrm a}-t(\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka})\bigr]$なので、

$$\hat H| k \rangle =\varepsilon (k)| k \rangle ,\qquad \varepsilon (k)=\varepsilon _{\mathrm a}-2t\cos(ka)\tag{2.3.8}$$

を得る。$N\times N$ の固有値問題が、$k$ ごとの $1\times1$ の問題に分かれた。図 2.3.1 の横棒はすべて $\varepsilon _{\mathrm a}-2t\cos(2\pi\nu/N)$ に一致する（検算スクリプトで $N=3$ から $60$ まで確かめた）。

$k$ の取り方には自由度がある。$\nu$ と $\nu+N$ は同じ $\lambda$ を与えるので、$\nu$ は $N$ 個の連続した整数ならどこから数えてもよい。$0\le\nu<N$ の代わりに $-N/2<\nu\le N/2$ と取ると、$k$ は $-\pi/a<k\le\pi/a$ を動く。これは第1部第2章で定義した1次元の第1 Brillouin 域である。この取り方では $\varepsilon (k)=\varepsilon (-k)$ が目に見え、$k\neq0,\pi/a$ の準位は $k$ と $-k$ の2重に縮退している（例題 2.3.1 の $N=4$ の $0$ の2重縮退がこれである）。縮退した $| k \rangle$ と $| -k \rangle$ の和と差を取ると、成分が $\cos(kja)$ と $\sin(kja)$ の実数の定在波になる。例題 2.3.1 の $(1,0,-1,0)$ と $(0,1,0,-1)$ は、$ka=\pi/2$ の cos 型と sin 型である。

巡回行列はどれも同じ方法で対角化できる

上の議論で使ったのは $\left[\hat H,\,\hat T\right]=0$ だけで、ホッピングが隣どうしに限ることは使っていない。$\hat H$ の行列要素が番号の差だけで決まる（$\langle j | \hat H | l \rangle =h_{l-j}$、番号の差は $N$ を法として読む）行列を巡回行列と呼ぶ。巡回行列は必ず $\hat T$ と交換し、その固有値は

$$\varepsilon (k)=\sum_{m}h_m\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kma}\tag{2.3.9}$$

になる（和は $N$ 個の差 $m$ について取る）。最近接だけなら $h_0=\varepsilon _{\mathrm a}$、$h_{\pm1}=-t$ で式 (2.3.8) に戻る。離散 Fourier 変換は、並進の対称性を持つあらゆる行列を一度に対角化する道具である。固体ではこれが Bloch の定理になり（第2部第4章）、格子振動では同じ巡回行列がばねの行列として現れる（2.3.6節）。