この章のまとめ

(1) $p=\frac{\partial L}{\partial \dot x}=\gamma m\dot x$。$H=p\dot x-L=\gamma mc^2-Fx$ を $p$ で書くと

$$H(x,p)=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}-Fx .$$

(2) $\dot x=\frac{\partial H}{\partial p}=\dfrac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}}$、$\dot p=-\frac{\partial H}{\partial x}=F$。$p(0)=0$ から $p=Ft$ で、

$$\dot x=\frac{Ftc^2}{\sqrt{F^2t^2c^2+m^2c^4}}=\frac{Ft/m}{\sqrt{1+(Ft/mc)^2}},\qquad x=\frac{mc^2}{F}\Bigl(\sqrt{1+\Bigl(\frac{Ft}{mc}\Bigr)^2}-1\Bigr)$$

で、式 (2.3.20) と一致する。

(3) $x\to x+\epsilon$ で $\delta L=F\epsilon=\epsilon\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(Ft)$ なので $K=1$, $\Lambda=Ft$。Noether の保存量は $Q=pK-\Lambda=p-Ft$。(2) の解では $p-Ft=0$ で確かに一定である。$p$ そのものは保存しないが、力による運動量の増加 $Ft$ を差し引いた量が保存する。$H$ も $t$ によらないので保存し、$H=E$ である。

(4) $H(x,\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} x})=E$ から

$$\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{c}\sqrt{(E+Fx)^2-m^2c^4}.$$

$E$ で微分してから $x$ で積分すると

$$t+\beta=\frac{\partial W}{\partial E}=\int\frac{E+Fx}{c\sqrt{(E+Fx)^2-m^2c^4}}\,\mathrm{d} x=\frac{1}{Fc}\sqrt{(E+Fx)^2-m^2c^4}.$$

2乗して $(E+Fx)^2-F^2c^2(t+\beta)^2=m^2c^4$。$t=0$ で $x=0$, $p=0$ なので $E=H(0,0)=mc^2$、$\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} x}\big|_{x=0}=0$ から $\beta=0$。よって $(mc^2+Fx)^2=m^2c^4+F^2c^2t^2$ で、$x=\dfrac{mc^2}{F}\Bigl(\sqrt{1+(Ft/mc)^2}-1\Bigr)$ となり (2) と一致する。世界線は双曲線である。

(5) $\mathrm{d}\tau=\mathrm{d} t/\gamma$、$\gamma=\sqrt{1+(gt/c)^2}$ なので

$$\tau=\int_0^t\frac{\mathrm{d} t'}{\sqrt{1+(gt'/c)^2}}=\frac{c}{g}\operatorname{arsinh}\frac{gt}{c}.$$

$c/g=3.057\times10^7\,\mathrm s$、$gt/c=1.0323$ で、$\tau=0.876$ 年。速さは $v/c=1.0323/\sqrt{1+1.0323^2}=0.718$。距離は $x=(c^2/g)(\sqrt{1+1.0323^2}-1)$ で、光年に直すと $0.424$ 光年。地上の1年のあいだに粒子の時計は約 $0.12$ 年遅れる。