出てくるもの3：Lorentz 変換の Noether の保存量と、粒子の生成

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第3章 §2.3.5　★★ ブーストに Noether の定理を当てると「エネルギーで重みを付けた重心が等速で動く」という保存則が出る。不変量 $p_\mu p^\mu$ から反応のしきい値が決まる

ブーストの生成子

2.3.3節で、時刻と空間の並進から $E$ と $\bm{p}$ の保存が出た。Lorentz 変換群には並進と回転のほかにブーストがある。回転からは第1部第10章と同じく角運動量の保存が出るので、ここではブーストを扱う。1次元の自由粒子で、rapidity $\epsilon$ の無限小のブースト

$$ct'=ct+\epsilon x,\qquad x'=x+\epsilon\,ct$$

を考える。第1部第10章の、時刻もずらす変換の書き方（$t'=t+\epsilon\tau$, $q'(t')=q(t)+\epsilon K$）では $\tau=x/c$, $K=ct$ である。時刻を止めた変分は $\delta x=\epsilon(K-\tau\dot x)=\epsilon(ct-x\dot x/c)$ で（第1部第10章）、ここからはドットは $t$ 微分である。$L$ の1次の変化は

$$\delta L=p\,\delta\dot x=\epsilon\,\gamma m\dot x\Bigl(c-\frac{\dot x^2}{c}-\frac{x\ddot x}{c}\Bigr)$$

で、運動方程式を使わずに $\delta L=\epsilon\frac{\mathrm{d} \Lambda}{\mathrm{d} t}$、$\Lambda=mcx\sqrt{1-\dot x^2/c^2}=-xL/c$ と書ける（$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(mcx\sqrt{1-\dot x^2/c^2}\bigr)=mc\dot x\sqrt{1-\dot x^2/c^2}-\gamma m\dot x x\ddot x/c$ と比べればよい）。保存量 $Q=p(K-\tau\dot x)-\Lambda$ は

$$Q=p\Bigl(ct-\frac{x\dot x}{c}\Bigr)+\frac{xL}{c}=c\,pt-\frac{x}{c}(p\dot x-L)=c\Bigl(pt-\frac{Ex}{c^2}\Bigr)\tag{2.3.17}$$

になる。$N$ 個の自由粒子が衝突する場合も、並進の保存量と同じく各粒子の $Q$ を足したものが保存する。全エネルギー $E_{\mathrm{tot}}=\sum_aE_a$ と全運動量 $\bm{P}=\sum_a\bm{p}_a$ を使って書くと

$$\bm{X}_E(t)\coloneqq\frac{\sum_aE_a\bm{x}_a(t)}{E_{\mathrm{tot}}}=\frac{\bm{P}c^2}{E_{\mathrm{tot}}}\,t+\text{定数}\tag{2.3.18}$$

である。エネルギーで重みを付けた位置の平均（エネルギーの重心）が、速度 $\bm{P}c^2/E_{\mathrm{tot}}$ で等速に動く。遅い極限では $E_a\approx m_ac^2$ で、Newton 力学の重心の等速運動に戻る。相対論では「質量の重心」は保存則に現れず、重みは静止エネルギーでなく全エネルギーである。

不変量としきい値

4元運動量の和 $P^\mu=\sum_ap_a^\mu$ は保存し、その「長さ」$P_\mu P^\mu$ はどの慣性系でも同じ値をとる。$\bm{P}=0$ となる系（エネルギーの重心が止まって見える系）では $P_\mu P^\mu=E_{\mathrm{cm}}^2/c^2$ で、$E_{\mathrm{cm}}$ は粒子を作るために使えるエネルギーの全部である。反応の後に静止質量 $M_{\mathrm f}$ の和を持つ粒子群が作れる条件は $E_{\mathrm{cm}}\ge M_{\mathrm f}c^2$ になる。保存量どうしを組み合わせた $P_\mu P^\mu$ は変換で値を変えないので、反応が起こるかどうかを1つの数で判定することができる。