力が働くとき：一様な力と電磁場

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第3章 §2.3.6　★★ $L$ に $-V$ や $-q\phi+q\bm{v}\cdot\bm{A}$ を足すと、運動方程式は $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\gamma m\bm{v})=$ 力。一様な力では双曲線の世界線、磁場では周期が $\gamma$ 倍に伸びた円運動になる

一様な力と双曲運動

自由粒子の $L$ にポテンシャル $-V(\bm{x})$ を足した $L=-mc^2/\gamma-V$ を考える。Euler–Lagrange 方程式は

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\gamma m\bm{v})=-\nabla V\tag{2.3.19}$$

で、左辺は運動量の時間変化、右辺は力である。$L$ が $t$ によらないので $E=\gamma mc^2+V$ が保存する。ただし $-V$ は Lorentz 変換で不変な形をしていないので、この $L$ は「ある慣性系で決めた静的な力」を表すだけである。Lorentz 変換で不変な相互作用の代表は次の小節の電磁場である。

一様な力 $F$（$V=-Fx$）で、$t=0$ に静止していた粒子を考える。式 (2.3.19) から $\gamma mv=Ft$ なので

$$v(t)=\frac{Ft/m}{\sqrt{1+(Ft/mc)^2}},\qquad x(t)=\frac{mc^2}{F}\Bigl(\sqrt{1+\Bigl(\frac{Ft}{mc}\Bigr)^2}-1\Bigr)\tag{2.3.20}$$

である（$x$ は $v$ を積分した）。$x+mc^2/F$ と $ct$ は $(x+mc^2/F)^2-c^2t^2=(mc^2/F)^2$ を満たすので、世界線は $(ct,x)$ 平面の双曲線で、これを双曲運動と呼ぶ。速さは $c$ に近づくが越えない。エネルギーの保存 $\gamma mc^2-Fx=mc^2$ からも同じ $x$ が出る。$Ft\ll mc$ では $x\approx Ft^2/(2m)$ で Newton 力学の等加速度運動に戻る。双曲運動は、一様に加速する観測者の座標（Rindler 座標）として一般相対論の等価原理の章で使う（第2部第11章）。

電磁場の中の粒子

電磁場の中の荷電粒子（電荷 $q$）では、第2部第2章と同じ相互作用の項を足す（第2部第2章）。

$$L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-q\phi(\bm{x},t)+q\bm{v}\cdot\bm{A}(\bm{x},t),\qquad S=-mc\int\mathrm{d} s-q\int A_\mu\,\mathrm{d} x^\mu\tag{2.3.21}$$

で、4元ポテンシャルは $A^\mu=(\phi/c,\bm{A})$、$A_\mu=(\phi/c,-\bm{A})$ である。$A_\mu\mathrm{d} x^\mu=\phi\,\mathrm{d} t-\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{x}$ なので2つの書き方は一致する。第2項 $-q\int A_\mu\mathrm{d} x^\mu$ は世界線に沿った線積分で、Lorentz 変換で不変であり、径数の取り替えでも変わらない。

正準運動量は $\bm{p}_{\mathrm{can}}=\gamma m\bm{v}+q\bm{A}$ で、第2部第2章と同じく運動学的運動量 $\gamma m\bm{v}$ とは $q\bm{A}$ だけ違う。Euler–Lagrange 方程式は

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\gamma m\bm{v}+q\bm{A})=-q\nabla\phi+q\nabla(\bm{v}\cdot\bm{A})$$

で、$\frac{\mathrm{d} \bm{A}}{\mathrm{d} t}=\partial_t\bm{A}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{A}$ と $\nabla(\bm{v}\cdot\bm{A})-(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{A}=\bm{v}\times(\nabla\times\bm{A})$ を使うと

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\gamma m\bm{v})=q(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B}),\qquad \bm{E}=-\nabla\phi-\partial_t\bm{A},\quad\bm{B}=\nabla\times\bm{A}\tag{2.3.22}$$

になる。Lorentz 力の式は Newton 力学のときと同じ形で、左辺の運動量だけが $\gamma m\bm{v}$ に替わる。径数を $\tau$ に選んで作用 (2.3.21) の Euler–Lagrange 方程式を書くと、同じ式が4元の形

$$m\frac{\mathrm{d} u^\mu}{\mathrm{d} \tau}=qF^{\mu\nu}u_\nu,\qquad F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\tag{2.3.23}$$

で出る。$\mu=0$ の成分は $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\gamma mc^2)=q\bm{E}\cdot\bm{v}$（電場がする仕事率）、$\mu=i$ の成分は式 (2.3.22) である（$F^{0i}=-E^i/c$ の約束で確かめられる）。$F_{\mu\nu}$ を場の側から作用で扱うのは第2部第6章である（第2部第6章）。

一様な磁場 $\bm{B}$ だけがあるとき、Lorentz 力は速度に垂直で仕事をしないので $\gamma$ は一定で、式 (2.3.22) は $\gamma m\frac{\mathrm{d} \bm{v}}{\mathrm{d} t}=q\bm{v}\times\bm{B}$ となる。これは質量を $\gamma m$ に替えた Newton 力学のサイクロトロン運動で、角振動数は

$$\omega=\frac{\lvert q\rvert B}{\gamma m},\qquad r=\frac{\lvert \bm{p}\rvert }{\lvert q\rvert B}\quad(\text{磁場に垂直な運動})\tag{2.3.24}$$

である。速い粒子ほど回る周期が長くなる。