AI生成教科書『虎の巻』

近似の数理 第1章の第1節。出発点の問いと、答えの形。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第1章の第2節。巻の骨格となる分類。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第1章の第3節。3つの型の振る舞いの違いを、厳密値の分かる問題で数値として見る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第1章の第4節。章の依存関係と、どこから読めるか。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第1章の第5節。3つの型の区別を手で確かめる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第1章の第6節。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第2章の第1節。「閉じた式で書けない」と「解が無い」を区別し、問うべきことを Hadamard の3条件に整理する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第2章の第2節。縮小写像の不動点として解を作る論法は、近似列が収束することの最も単純な証明であり、後の章の反復法の原型。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第2章の第3節。近似解と真の解の距離を測るすべての評価の原型。第6章・第7章の誤差評価はこの不等式の変奏である。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第2章の第4節。エネルギーの減少・保存から安定性と大域存在を言う論法は、PDE のエネルギー法とアプリオリ評価にそのまま持ち上がる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第2章の第5節。関数を「ノルムで測った大きさ」で扱う理由と、完備性（近似列の極限が空間に残ること）の意味。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第2章の第6節。弱形式は Galerkin 近似（第4章）の出発点であり、ソボレフ空間は「運動エネルギー有限な状態」の空間である。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第2章の第7節。近似列から極限を取り出す手段。収束の失敗の2つの型（逃げる・振動する）が第5・6・9章の主役になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第2章の第8節。「基底状態は存在するか」を問う量子力学の論法そのもの。最小化列→有界性→弱極限→下半連続性。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第2章の第9節。4つの道具と、それを使う章の対応表。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第3章の第1節。「ハミルトニアンは全空間では定義できない」が以降すべての出発点。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第3章の第2節。「エルミートなら十分」という直観がどこで足りないかを、定義域の言葉で特定する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第3章の第3節。原子・分子のハミルトニアンが自己共役であることの証明。クーロン特異性が「弱い」ことの定量化。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第3章の第4節。「下に有界」でなければ変分原理も基底状態も意味を失う。原子が崩壊しない理由の数学的な形。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第3章の第5節。束縛状態（離散）と散乱状態（真性）を区別する言葉。近似が狙えるのは前者だけ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第3章の第6節。第4章の Rayleigh–Ritz の上界の根拠。試行関数から束縛状態の存在まで証明できる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第3章の第7節。多電子系で「どこから下が束縛状態か」を決める定理。変分計算の上界と組んで束縛の証明になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第3章の第8節。化学の「イオン化エネルギー」「遮蔽」が作用素論で何に当たるかの対応表。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第3章の第9節。第4〜6章の近似が立つ土台の一覧。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第4章の第1節。射影型近似すべての骨格。ここで示す「誤差は部分空間の近似能力だけで決まる」が章全体の出発点。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第4章の第2節。LCAO・基底展開・CI がすべて上界を与え、基底を足すと必ず下がることの証明。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第4章の第3節。「エネルギーは合うのに他の物理量が合わない」という量子化学の経験則の数学的な理由。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第4章の第4節。上界だけでは誤差が分からない。分散を使うと真の固有値を両側から挟める。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第4章の第5節。量子化学の計算がなかなか収束しない根本の理由＝波動関数の尖り（カスプ）。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第4章の第6節。「原子軌道の線型結合」が2次元部分空間への Rayleigh–Ritz そのものであり、部分空間の選び方が誤差を決める実例。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第4章の第7節。完全 CI が「基底を固定した下での厳密解」であることと、電子間カスプが相関エネルギーの収束を遅くする理由。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第4章の第8節。射影型近似について数学が保証することと保証しないことの一覧。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第5章の第1節。以後の議論の土台。変分原理が任意の部分集合で成り立つことを確認する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第5章の第2節。Hartree–Fock が「射影」でなく「曲がった集合への制限」である理由。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第5章の第3節。直接項と交換項の起源。以後の定理はすべてこの式の構造から出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第5章の第4節。交換項の符号が「曲がった集合」の問題を凸集合へ緩和できる構造を生む。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第5章の第5節。「平均場の方程式」の正体は制約つき変分の停留条件であり、その解法は不動点反復である。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第5章の第6節。「下から順に詰める」が仮定でなく最小性から出ることを示す。交換項の符号の2つ目の帰結。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第5章の第7節。無限次元の最小化に特有の難所（質量の流出）と、その乗り越え方。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第5章の第8節。Lagrange 乗数にすぎない軌道エネルギーに物理的な意味を与える近似の、正確な位置づけ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第5章の第9節。曲がった集合への制限が残す誤差の大きさと、平均場では原理的に表せない状況。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第5章の第10節。平均場の直観のうち、何が証明され何が証明されていないかの線引き。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第5章の第11節。Hartree–Fock を A 型（曲がった集合への制限）として見たときに保証されること。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第6章の第1節。「何を小さいパラメータとみなすか」を決めないと、近似が厳密になる極限そのものが定義できない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第6章の第2節。平均場近似が N→∞ で厳密になることを、省略なしに証明できる最も簡単な場合。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第6章の第3節。「粒子が独立にふるまう」という平均場の仮定が、時間発展で保たれることの正確な言い換え。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第6章の第4節。多体の方程式から一体の方程式を作ろうとすると「閉じない」階層が現れ、平均場近似はその打ち切りに当たる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第6章の第5節。有界な相互作用なら、Hartree 方程式が N→∞ で厳密になることを数ページで証明できる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第6章の第6節。時間発展でなく基底状態でも、1粒子あたりのエネルギーが Hartree 汎関数の最小値に収束する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第6章の第7節。「重い原子ほど平均場が良い」の正確な意味と、極限で正しい理論が有限 Z の化学を落とす例。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第6章の第8節。平均場極限は「大きい N」と「小さい ħ」が組になって現れることが多い。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第6章の第9節。平均場が「どのスケーリングで、どの意味で」厳密になるかの一覧。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第7章の第1節。以後のすべての節が「どちらの摂動か」の判定から始まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第7章の第2節。外部解・内部解・接合・合成解という特異摂動の手順をすべて誤差評価つきで追う。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第7章の第3節。時間方向の特異摂動。断熱定理・BO の「遅い変数」の数学的原型。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第7章の第4節。半古典近似は「最高階の係数 $\hbar^2$ が小さい」特異摂動であり、BO の核の運動の扱いの土台。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第7章の第5節。「速い自由度は遅い変化に追随する」という BO の直観を、ギャップ条件つきの定理にする。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第7章の第6節。分子の量子化学の土台。質量比を小パラメータとする特異摂動として読む。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第7章の第7節。流体力学最大の特異摂動。Euler と Navier–Stokes の間の「薄い層」を数学で扱う。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第7章の第8節。低 Reynolds 数側の極限。正則に見えて遠方で特異になる例と、薄い領域の漸近極限。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第7章の第9節。境界層・WKB・断熱定理・BO を一つの表で並べ、物理の直観の位置と破綻の場所を特定する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第7章の第10節。特異摂動の手順と、その正当化の範囲。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第8章の第1節。章全体の地図。どの矢印がどの極限で、どれが証明済みかを最初に押さえる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第8章の第2節。流体方程式の出発点。衝突不変量と H 定理が、後の Hilbert 展開の可解条件と局所平衡の正体になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第8章の第3節。Boltzmann 方程式が B 型の極限として導けること、ただし短時間に限ることを主張として押さえる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第8章の第4節。流体方程式の骨組み（保存則）は Boltzmann 方程式から無条件に出る。近似が入るのは応力と熱流束の閉じ方だけ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第8章の第5節。局所平衡と Euler 方程式が、漸近展開の最低次とその可解条件（Fredholm の二者択一）として出てくる仕組み。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第8章の第6節。粘性係数と熱伝導率が分子の衝突から計算できること、BGK 模型で計算を最後まで実行する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第8章の第7節。非圧縮 Navier–Stokes が極限定理として得られるスケーリングと、証明の現状を正確に押さえる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第8章の第8節。近似として導いた方程式そのものの適切性が未解決であること。正当化の連鎖の弱い環。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第8章の第9節。音波が速く振動して平均で消えるという、弱収束による極限の典型例。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第8章の第10節。H 定理を目で見る数値例と、流体近似が使える長さの見積もり。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第8章の第11節。流体近似の階層と、各段の正当化の現状。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第9章の第1節。弱収束と強収束の区別が有効係数を決めることを、完全に計算できる場合で示す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第9章の第2節。有効係数を決める補助問題（セル問題）と、それが算術平均と調和平均の間にあることの証明。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第9章の第3節。形式展開の結論を、弱収束しかしない量の積の極限を正しく取る論法で証明する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第9章の第4節。巨視的な構成則が微視的方程式の極限として出る具体例。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第9章の第5節。平均をとった方程式が閉じない構造と、閉じ方（モデル）が極限定理でない理由。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第9章の第6節。A 型の射影を非線型・長時間に使うと、誤差を制御する定理がなくなる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第9章の第7節。厳密な存在定理と、具体形が分からない汎関数を閉じる C 型の近似の境目。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第9章の第8節。近似が閉じるための構造の有無で、正当化できるものとできないものを分ける。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第9章の第9節。章全体の要点。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第12章の第1節。バンドは近似でなく、周期作用素を各 k の単位胞の問題に分解した結果として厳密に定義される。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第12章の第2節。原子軌道への射影（A 型）が良い近似になる理由は、トンネル積分が Agmon 距離で指数的に小さいという B 型の定理にある。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第12章の第3節。反対の極限。各 k の問題では正則摂動だが、ゾーン境界の縮退点だけは縮退摂動が要り、そこでギャップ $2\lvert V_{\bm{G}}\rvert$ が開く。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第12章の第4節。バンドの底の放物線近似は第9章の均質化そのもの。1次元の最低バンドでは有効質量が調和平均で厳密に書ける。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第12章の第5節。$\varepsilon _n(\bm{k})$ を Hamiltonian とする半古典運動は、第7章の断熱定理を空間の向きへ移した定理で、ギャップで孤立したバンドについて証明されている。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第12章の第6節。tight-binding の基底を厳密に作れるかどうかは Bloch 関数を k について滑らかに選べるかで決まり、その障害が Chern 数である。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第12章の第7節。一電子のバンドの近似5つを、型・小さいもの・証明の状況で並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第13章の第1節。「1粒子あたりのエネルギー」や「単位体積あたりの自由エネルギー」が意味を持つための前提。固体の議論はすべてこの上に立つ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第13章の第2節。フォノンの理論は「原子が結晶に並んでいる」ことを仮定した展開で、その仮定自体は3次元で未証明。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第13章の第3節。平均場は到達距離無限大で厳密、短距離では次元によって正しくも誤りにもなる。B 型の近似が「どの極限か」で結論を変える例。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第13章の第4節。平均場の答え（2量体化・反強磁性）のうち、何が厳密な定理として残り、何が近似の産物かを小さな系で切り分ける。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第13章の第5節。相互作用する電子の描像が摂動論でどこまで正当化され、超伝導のギャップがなぜ摂動論の外にあるか。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第13章の第6節。電気伝導の3つの道具がそれぞれ B 型の極限・線形応答・トポロジーで正当化される範囲。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第13章の第7節。第11章の表の固体版。固体の多体の近似を、型と証明の状況で一覧する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第14章の第1節。系の密度行列の厳密な方程式は、浴が平衡のままの部分空間への射影（A 型）で書ける。ただし記憶の核を持ち、閉じた微分方程式にはならない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第14章の第2節。教科書で最もよく使われる Markov の方程式は結合の2次までは正しいが、密度行列の正値性を保証しない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第14章の第3節。結合を弱めながら時間を $\lambda^{-2}$ で伸ばす B 型の極限で、記憶が消え、永年近似が平均化として自動的に出て、完全正値な半群に収束する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第14章の第4節。Markov の極限の答えが必ず Lindblad 形になる理由。生成子の形は完全正値性とトレースの保存だけで決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第14章の第5節。2準位原子と真空の電磁場に Davies の定理を当てはめると A 係数と光 Bloch 方程式の緩和が出る。前提の可積分性は高い周波数の切断で満たされる。量子回帰定理は別の主張。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第14章の第6節。Davies の定理の外で何が起きるか。情報の逆流・低温での長い相関時間・近い Bohr 周波数・別の極限。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第14章の第7節。開放系の Markov 近似を、型と証明の状況で一覧する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第11章の第1節。第1章の問い (i)〜(iii) への答えの一覧。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第11章の第2節。章をまたいで同じ数学が近似を支えている。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第11章の第3節。第1章の問い (iii) への答え。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第11章の第4節。この巻の結論を実際の計算に持ち帰る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

近似の数理 第11章の第5節。各章の内容を本格的に学ぶための標準的な教科書。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第1章の第1節。理論ごとに違うのは選ぶ $L$・$H$ で、当てる道具は共通している。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第1章の第2節。第1部の14章が作る道具を並べ、各章がどれを使うかを示す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第1章の第3節。$L\leftrightarrow H$ と $U\leftrightarrow F$ が同じ図の上の同じ操作であることを先に見る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第1章の第4節。Noether の定理と生成子を、並進・回転・時間発展の3つで並べて先に使う。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第1章の第5節。作用を座標と時刻の関数とみなすと、古典力学と波動力学が同じ方程式の2つの極限になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第1章の第6節。Newton の運動方程式・作用反作用・熱力学の関係式・交換関係が、この巻のどの式にあたるか。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第1章の第7節。選ぶ $L$・$H$ と、Legendre・Noether・Hamilton–Jacobi の3つの道具で巻全体が組まれている。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第2章の第1節。粒子の座標 $3N$ 個から独立な拘束の数 $k$ を引いた $f=3N-k$ が、配置を決めるのに要る数の個数。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第2章の第2節。拘束を自動的に満たすように位置を $f$ 個の数で書く。選び方は自由だが、1組の座標で配置の空間全体を覆えるとは限らない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第2章の第3節。速度は一般化速度の1次式。そこから「点を消す」恒等式と「微分の順序を入れ替える」恒等式が出る。時刻を止めた変位が仮想変位。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第2章の第4節。$T$ を $\dot q$ の2次・1次・0次の3つに分ける。2次の係数が質量行列で、配置の空間の長さはこれで測る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第2章の第5節。仮想仕事から一般化力を定義し、加速度の射影が $T$ だけで書けることを示す。拘束力は仮想仕事をしないので式から消える。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第2章の第6節。極座標の加速度を単位ベクトルの微分で出す書き方と、射影の恒等式で出す書き方は同じ式になる。尺度因子は質量行列の対角成分。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第2章の第7節。自由度・一般化座標・仮想変位・質量行列・一般化力の5つをそろえ、Newton の方程式を拘束力の無い $f$ 本の式に書き直した。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第3章の第1節。1変数・多変数の極値問題と同じ問いを、関数を変数にして立て直す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第3章の第2節。汎関数を多変数関数として見ると、汎関数微分は「偏微分を刻み幅で割ったもの」になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第3章の第3節。$\delta$ を「経路の族を実数1つで微分すること」と定義すると、$\delta$ と $\mathrm{d}$ の違いと入れ替えの規則がはっきりする。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第3章の第4節。第1変分を $\int(\cdots)\delta q\,\mathrm{d} t$ の形に書いたときの $(\cdots)$ が汎関数微分。偏微分の添字 $i$ を連続の $t$ にしたもの。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第3章の第5節。「すべての向きで $\delta F=0$」と「汎関数微分 $=0$」が同じ条件であることを示し、停留を最小と取り違えない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第3章の第6節。「$\delta q$ の1次まで展開する」教科書の書き方は第1変分と同じもの。違いは何を定義とし何を導くかにある。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第3章の第7節。汎関数・第1変分・汎関数微分・基本補題・2次の変分の5つをそろえ、次の章で Euler–Lagrange 方程式を導く。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第4章の第1節。前の章の (b) と (d) を組み合わせると、一般の $L$ の汎関数微分は $\partial L/\partial q-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\partial L/\partial\dot q$ になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第4章の第2節。$L$ が $q_j$ を含まなければ $\partial L/\partial\dot q_j$ が、$t$ を含まなければ $h=\sum_i\dot q_i\partial L/\partial\dot q_i-L$ が一定。全微分を足しても方程式は変わらない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第4章の第3節。端の値を自由にすると端の項が消えずに残り、$\partial L/\partial\dot q=0$ が境界条件として出てくる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第4章の第4節。独立変数を含まない $L$ の第一積分から $\cosh$ のグラフが出る。停留する曲線が2本あったり、1本もなかったりする。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第4章の第5節。降下時間の汎関数も独立変数を含まない。第一積分 $y(1+y'^2)=\text{一定}$ を径数で解くとサイクロイドが出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第4章の第6節。Newton の運動方程式・力学的エネルギー保存・Snell の法則・鎖の力の釣り合い・弦の自由端は、Euler–Lagrange 方程式とその第一積分・自然境界条件の特別な場合。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第4章の第7節。Euler–Lagrange 方程式・第一積分・自然境界条件の3つで、端の条件まで含めた変分問題を解ける。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第5章の第1節。$N$ 個の質点の $L=\sum_a\frac12m_a\dot{\bm{r}}_a^2-V$ を書き、自由落下で作用の値と中身を手で計算する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第5章の第2節。作用は座標の選び方によらない数なので、Euler–Lagrange 方程式はどの一般化座標でも同じ形をとる。$L=T-V$ を直交座標で書いて代入するだけで済む。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第5章の第3節。$T+V$ では力の向きが逆になる。$cL$ と $L+\frac{\mathrm{d} \Lambda}{\mathrm{d} t}$ の運動方程式は同じで、選び方の自由度はこの2つだけではない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第5章の第4節。一様性・等方性で $L=L(v^2)$、Galilei 変換で $L$ が全微分だけ変わることを要求すると $L=\frac12mv^2$。相対論では同じ手順で $-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第5章の第5節。真の経路は短い時間では作用の最小点だが、調和振動子では半周期を超えると鞍点になる。必要なのは停留で、その理由は経路積分の位相がそろうことにある。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第5章の第6節。教科書の「d'Alembert の原理から Lagrange 方程式」は、Newton の運動方程式を一般化座標の向きへ射影したもので、この章の式と同じものになる。和 $T+V$ と差 $T-V$ は Legendre 変換でつながる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第5章の第7節。$L=T-V$ の3つの部分の根拠を分けた。$T$ は対称性、$-V$ は Newton の運動方程式、停留は量子力学。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第6章の第1節。選ぶのは冗長な座標で書いた $L=T-V$ と拘束の式の組。拘束は座標の関係か速度の関係か、時刻を含むかで分ける。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第6章の第2節。停留点では目的の勾配が拘束の勾配の線型結合になる。その係数が乗数で、時刻ごとの拘束なら $\lambda(t)$ という関数になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第6章の第3節。$L=T-V$ に乗数を足すと、Newton の運動方程式に拘束力 $\lambda\nabla\Phi$ を足した形が出る。乗数は拘束を2回微分して状態の関数として決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第6章の第4節。定常な拘束の力は仕事をしない。時刻を含む拘束は仕事をし、その仕事率は $-\lambda\,\partial\Phi/\partial t$。速度の拘束にも乗数はそのまま使える。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第6章の第5節。拘束が積分 $C[q]=c$ 1本なら乗数は定数1つ。$\int\dot q^2$ を $\int q^2=1$ のもとで停留させると固有値問題になり、乗数が固有値になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第6章の第6節。力の図を描いて張力・垂直抗力を未知数に置く Newton の解き方は、第1種の方程式そのもの。統計力学の最大エントロピーの乗数も同じ道具。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第6章の第7節。拘束は消さずに乗数で残せる。乗数は拘束力であり感度でもある。積分の拘束では定数の乗数が固有値になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第7章の第1節。凸関数は接線の集まりで決まり、接線1本は傾きと切片で決まる。傾きをただ代入すると情報が落ちる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第7章の第2節。$f^*(p)=\sup_x\,[px-f(x)]$。導関数どうしが逆関数になり、2階導関数どうしは逆数になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第7章の第3節。凸な関数は $f^{**}=f$。凸でない関数では凸包に置き換わり、$f^*$ に折れ目ができる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第7章の第4節。$H(q,p,t)=\sup_{\dot q}[p\dot q-L]$。$q$ と $t$ は取り替えない変数で、偏微分は符号を変えて引き継がれる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第7章の第5節。$F(T,V)=\inf_S[U-TS]=-U^*(T)$。体積は取り替えない変数で、$L\to H$ と同じ図に載る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第7章の第6節。授業の「全微分を取って $\mathrm{d}(p\dot q)$ を引く」書き方は Legendre 変換と同じ。代入だけで $H$ を作る誤りの正体を見る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第7章の第7節。Legendre 変換は傾きと切片で関数を書き直す操作で、$L\to H$ と $U\to F$ はその例である。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第8章の第1節。$L$ の速度 $\dot q$ を正準運動量 $p$ に取り替えた関数 $H(q,p,t)=\sum_ip_i\dot q_i-L$ を選ぶ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第8章の第2節。Hamilton 方程式は第7章で Euler–Lagrange 方程式の書き換えとして出した。この章では相空間の作用の停留から、別の道筋で導く。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第8章の第3節。相空間の各点からは軌道がただ1本出る。自由度1で $H$ が時刻を含まなければ、軌道は $H$ の等高線そのものになる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第8章の第4節。$H$ が $t$ を含まなければ $H$ が保存し、$q_k$ を含まなければ $p_k$ が保存して自由度が1つ減る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第8章の第5節。Hamilton 方程式の速度場は発散が $0$ で、流れは相空間の面積を変えない。数値積分はこの性質を守る方法を選ぶ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第8章の第6節。Newton の方程式を「位置と速度」の1階の連立方程式に直す書き方と、エネルギー積分の導き方は、Hamilton 方程式と $\mathrm{d} H/\mathrm{d} t=\partial H/\partial t$ の特別な場合。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第8章の第7節。$H$ を選ぶと運動は相空間の1階の流れになり、$H$ と循環座標の運動量が保存し、流れは面積を保つ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第9章の第1節。連続的な変換の族をパラメータで微分すると、各点を動かす向き $K(q)$ が残る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第9章の第2節。向き $K$ が分かれば、微分方程式 $\mathrm{d} q/\mathrm{d}\alpha=K(q)$ を解いて変換の族全体が決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第9章の第3節。相空間の面積を保つ無限小変換は、1つの関数 $G$ の偏微分で $\delta q=\epsilon\,\partial G/\partial p$, $\delta p=-\epsilon\,\partial G/\partial q$ と書ける。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第9章の第4節。並進は $p$、回転は $L_z$、時間発展は $H$ が生成する。どれも同じ式 (1.9.14) の $G$ を取り替えただけ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第9章の第5節。同じ形が量子力学では $\hat U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat G/\hbar}$、$\delta\hat A=\epsilon\left[\hat A,\,\hat G\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第9章の第6節。微小回転 $\delta\bm{r}=\delta\bm{\phi}\times\bm{r}$・トルクと角運動量・$\hat p=-\mathrm{i}\hbar\nabla$ は、生成子の式の別の書き方である。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第9章の第7節。無限小変換・流れ・生成子・保存との同値・量子の生成子をそろえ、Noether の定理・Poisson 括弧・正準変換の3章へ渡す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第10章の第1節。「対称性がある」を「すべての経路で $\delta L=0$（または全微分）」と式で定義する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第10章の第2節。$\delta L$ を「運動方程式の部分」と「全微分の部分」に分ける恒等式を作る。第4章で捨てた端の項がここで保存量になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第10章の第3節。対称性ごとに保存量 $Q=\sum_ip_iK_i-\Lambda$ が1つずつ決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第10章の第4節。$L$ が $t$ を陽に含まなければ $H=\sum_ip_i\dot q_i-L$ が保存する。$H$ が力学的エネルギーと一致するとは限らない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第10章の第5節。$Q$ を生成子として相空間を動かすと元の変換が戻り、$H$ がその動きで変わらないことと $Q$ の保存は同値。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第10章の第6節。作用反作用・トルク・仕事とエネルギーの定理による3つの導出と、循環座標による書き方を、この章の定理と並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第10章の第7節。対称性 → 保存量 → 生成子 → $H$ の不変性の輪を1周させる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第11章の第1節。生成子 $G$ が点を動かすとき、関数 $A$ の値の変化は $\epsilon\{A,G\}$。括弧の中身は連鎖律だけで決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第11章の第2節。3つの性質と基本の括弧があれば、偏微分に戻らずに括弧を計算することができる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第11章の第3節。$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}+\frac{\partial A}{\partial t}$。$\{G,H\}=0$ は「$G$ が保存する」と「$G$ の変換で $H$ が変わらない」を同時に言う。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第11章の第4節。無限小の変換を積み重ねた有限の変換は、$A+\epsilon\{A,G\}+\frac{\epsilon^2}{2!}\{\{A,G\},G\}+\cdots$ の級数（Lie 級数）で書ける。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第11章の第5節。$F$ と $G$ で順に動かして戻ると、$\{G,F\}$ の生成する変換の分だけ元の点から外れる。生成子の括弧は変換の非可換性を測る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第11章の第6節。量子力学の交換子 $[\hat A,\hat B]/(\mathrm{i}\hbar)$ と Heisenberg の運動方程式は、この章の式と1対1に対応する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第11章の第7節。生成子 $G$ による変化は $\epsilon\{A,G\}$。時間発展・保存量・有限の変換・変換の合成をすべて括弧で書き、量子力学では括弧が交換子になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第12章の第1節。時間発展を相空間全体の写像 $(q,p)\mapsto(Q,P)$ として読む。どの例でも面積と $\{Q,P\}=1$ が保たれる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第12章の第2節。$\{Q_i,P_j\}=\delta_{ij}$ などを保つ変換を正準変換と定義し、それが Hamilton 方程式の形を保つことを示す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第12章の第3節。無限小変換は1次まで正準で、その積み重ねである流れは厳密に正準になる。系として相空間の体積が保たれる（Liouville の定理）。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第12章の第4節。「面積を保つ」を $p\,\mathrm{d} q-P\,\mathrm{d} Q$ が全微分であることに直すと、正準変換は1つの関数 $F$ で書くことができる。4つの型は互いに Legendre 変換。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第12章の第5節。変換が時刻を含むと新しい Hamiltonian は $K=H+\partial F/\partial t$。$K=0$ にする変換を探すことが Hamilton–Jacobi 方程式になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第12章の第6節。「Hamilton 方程式の形を保つ変換」という教科書の定義との違い、量子力学のユニタリ変換、数値計算との対応。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第12章の第7節。時間発展 → 括弧を保つ変換 → 面積の保存 → 母関数 → $K=H+\partial F/\partial t$ の順に、正準変換を組み立てた。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第13章の第1節。$K\equiv0$ となる母関数を探す条件が Hamilton–Jacobi 方程式。解が見つかれば、運動は微分だけで取り出せる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第13章の第2節。真の経路に沿った作用を終点の関数とみなすと Hamilton–Jacobi 方程式の解になり、時間発展という正準変換の母関数になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第13章の第3節。$H$ が時刻を含まなければ $S=W(q)-Et$。1次元では $W(q)=\int p\,\mathrm{d} q$ で、運動は積分1つで求まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第13章の第4節。極座標で $W$ が3つの和に分かれ、分離の定数が角運動量になる。軌道の式は $\partial W/\partial\alpha_\varphi=\beta_\varphi$ から積分1つで出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第13章の第5節。$S$ を波の位相とみなすと、運動は波面に垂直な線になる。Schrödinger 方程式に $\psi=A\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ を入れて $\hbar\to0$ とすると Hamilton–Jacobi 方程式が残る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第13章の第6節。エネルギー保存から時間を積分で出す解き方、Binet の方程式、WKB の公式は、どれも特性関数 $W(q)$ を経由した式の一部。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第13章の第7節。Hamilton–Jacobi 方程式は、母関数の条件・終点の関数としての作用・波の位相の古典極限の3通りに読める。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第14章の第1節。周期運動の軌道が囲む面積を $2\pi$ で割ったものを運動量に、軌道の上の位置を角度にとる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第14章の第2節。前の章の特性関数 $W(q)$ の定数を $E$ から $J$ に取り替えると、作用角変数への母関数になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第14章の第3節。パラメータを周期に比べてゆっくり変えると、エネルギーも周期も変わるが、作用変数 $J$ はほとんど変わらない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第14章の第4節。糸を引き上げて振り子を短くすると振幅が $l^{-3/4}$ で増える。数値積分で $J$ が保たれることと、速く変えると保たれないことを確かめる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第14章の第5節。$J$ は量子力学では量子数を数える量、統計力学では状態の数を数える量で、どちらでも「ゆっくり変えても変わらない」ことが意味を持つ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第14章の第6節。張力の仕事による初等的な計算・前期量子論の $\oint p\,\mathrm{d} q=nh$・熱力学の断熱変化・磁気モーメントの保存は、どれも $J$ が一定という1つの式の別の姿。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第14章の第7節。作用変数 $J=\frac1{2\pi}\oint p\,\mathrm{d} q$ は周期運動の「どの軌道か」を表す運動量で、ゆっくりした変化で保たれ、量子数と状態の数を数える。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第15章の第1節。運動方程式から量子化の入口までの手順を1枚の流れ図にし、各段で何が満たされていれば先へ進めるかを書く。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第15章の第2節。運動方程式が Euler–Lagrange の式であるための条件（Helmholtz の条件）、式に掛けてよい乗数、1自由度では必ず解けること、$L$ が一意でないこと。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第15章の第3節。LC 回路では電荷が座標、磁束が正準運動量になる。Josephson 接合を足すと非線形の振動子になり、小振動の振動数と非調和性が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第15章の第4節。Lorentz 力の Helmholtz の条件は Maxwell 方程式の半分そのもの。1階の運動方程式では座標どうしが互いに共役になり、点渦・強磁場の荷電粒子・捕食者と被食者がその例。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第15章の第5節。相空間の体積が縮む流れは、どの座標をとっても時刻を含まない Hamilton 系に直せない。時刻を含む $L$ は作れても量子化すると不自然になり、散逸は系と熱浴を合わせた大きな Hamilton 系から出す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第15章の第6節。回路理論の Kirchhoff の式と、この章の $L$・$H$ を並べる。「LC 回路を量子化すると電荷と磁束が不確定性を持つ」の書き方と対応させる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第15章の第7節。運動方程式 → Helmholtz の条件と乗数 → $L$ → 正準運動量 → $H$ と Poisson 括弧 → 保存量と小振動 → 量子化、の手順を回路・荷電粒子・渦・生態系で1周し、直せない系の判定も得た。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第1章の第1節。4つの系それぞれについて、一般化座標と $L=T-V$ を書き下す。2体は重心と相対座標に、剛体は重心の並進と回転に分ける。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第1章の第2節。4つの系で共通に使う手順をまとめる。行き着く先は「平衡点のまわりの $L$ は振動子の和」という結果。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第1章の第3節。回転対称性から平面運動と有効ポテンシャルが出る。Kepler 問題だけはもう1つのベクトルの保存量があり、軌道が閉じる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第1章の第4節。対称なこまでは Euler 角の2つが循環座標になり、残る傾きの角の有効ポテンシャルから歳差運動が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第1章の第5節。質量行列と剛性行列を同時に対角化すると、多自由度の小振動は独立な振動子の和になる。CO$_2$ の4つの振動を数える。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第1章の第6節。換算質量の引き算・Kepler の保存則・Euler 方程式・連成振動の行列を、この章の $L$ からの導き方と並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第1章の第7節。$L$ を書く → 循環座標で保存量 → 1自由度の有効ポテンシャル → 平衡点のまわりの振動子、という手順を4つの系で1周した。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第2章の第1節。$L=\frac12m\dot{\bm{r}}^2-q\phi+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$。速度による力は、速度を含む一般化ポテンシャル $U=q\phi-q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ から出す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第2章の第2節。$L$ を Euler–Lagrange 方程式に入れ、ベクトルの恒等式を1つ使うと $m\ddot{\bm{r}}=q(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B})$ が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第2章の第3節。$\bm{p}=m\dot{\bm{r}}+q\bm{A}$、$H=(\bm{p}-q\bm{A})^2/(2m)+q\phi$。$H$ の値に $\bm{A}$ は入らず、速度の成分どうしの Poisson 括弧は磁場になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第2章の第4節。$\bm{E},\bm{B}$ を変えない $(\phi,\bm{A})$ の取り替えで $L$ は全微分 $q\,\mathrm{d}\Lambda/\mathrm{d} t$ だけ変わる。運動は同じで、$\bm{p}$ と $H$ の値が変わる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第2章の第5節。Landau ゲージでは保存する $p_x$ を止めると1次元の調和振動子になる。円運動の角振動数 $qB/m$ と、電場に直交する一定のドリフト速度 $E/B$ が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第2章の第6節。授業では Lorentz 力を出発点に置き、ポテンシャルは後から導入する。この章では $L$ のポテンシャルが出発点で、Lorentz 力・エネルギーの式・誘導の電場が後から出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第2章の第7節。速度の1次の項を持つ $L$ から、Lorentz 力・$\bm{p}=m\dot{\bm{r}}+q\bm{A}$・最小結合の $H$・ゲージの自由度・サイクロトロン運動とドリフトが出た。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第3章の第1節。作用 $S=-mc^2\int\mathrm{d}\tau$ を書き、それがどの慣性系でも同じ値になる理由と、負号を付ける理由を確かめる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第3章の第2節。第1部第5章の「Galilei 変換で $L$ が全微分だけ変わる」という手順を Lorentz 変換に替えると、$L$ が一通りに決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第3章の第3節。Euler–Lagrange 方程式から $\bm{p}=\gamma m\bm{v}$、Legendre 変換から $E=\gamma mc^2$。定数 $-mc^2$ が静止エネルギーになり、質量の変わる反応で測れる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第3章の第4節。作用を世界線の任意の径数で書くと $E/c$ と $\bm{p}$ が4元運動量にまとまり、$H$ が恒等的に $0$ になる代わりに拘束 $p_\mu p^\mu=m^2c^2$ が残る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第3章の第5節。ブーストに Noether の定理を当てると「エネルギーで重みを付けた重心が等速で動く」という保存則が出る。不変量 $p_\mu p^\mu$ から反応のしきい値が決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第3章の第6節。$L$ に $-V$ や $-q\phi+q\bm{v}\cdot\bm{A}$ を足すと、運動方程式は $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\gamma m\bm{v})=$ 力。一様な力では双曲線の世界線、磁場では周期が $\gamma$ 倍に伸びた円運動になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第3章の第7節。学部の特殊相対論で天下りに置く $\bm{p}=\gamma m\bm{v}$・$E=\gamma mc^2$・$E^2=p^2c^2+m^2c^4$・$\frac{\mathrm{d} \bm{p}}{\mathrm{d} t}=\bm{F}$ を、この章の式番号と並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第3章の第8節。固有時を作用に選ぶだけで、運動量・エネルギー・4元運動量・質量殻・保存則が第1部の道具から順に出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第4章の第1節。原子の列の $L$ を書き、ばね定数 $K$ が原子間ポテンシャルの2階微分であることと、そこで調和近似を使ったことを確かめる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第4章の第2節。運動方程式は隣だけを結ぶ連立方程式になる。番号をずらしても $L$ が変わらないので、基準振動は平面波に決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第4章の第3節。平面波を入れると $\omega=2\sqrt{K/m}\,\lvert \sin(ka/2)\rvert$。長い波長では音波 $\omega=vk$、波数は $2\pi/a$ の幅の中だけで意味を持つ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第4章の第4節。離散 Fourier 変換で $L$ は $N$ 個の独立な調和振動子の和になる。$k=0$ の振動子が全運動量で、各モードのエネルギーは別々に保存する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第4章の第5節。$a\to0$ で $\rho=m/a$ と $Y=Ka$ を固定すると、列の $L$ は Lagrangian 密度の積分になり、運動方程式は波動方程式になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第4章の第6節。弦の波動方程式・棒の音速・固体物理の格子振動の分散関係は、どれも列の $L$ とその極限の Euler–Lagrange 方程式。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第4章の第7節。原子の列の $L$ → 平面波の基準振動 → 格子間隔 $0$ の極限で Lagrangian 密度。場は「自由度に $x$ という名札を付けたもの」。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第5章の第1節。場の Lagrangian は空間積分 $L=\int\mathcal L\,\mathrm{d}^3x$ で、中身 $\mathcal L$ は各点の値と1階微分だけで決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第5章の第2節。第1部の変分を4変数に広げる。部分積分の代わりに発散定理を使い、端の項は境界の面積分になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第5章の第3節。作用の停留は各点ごとの偏微分方程式になる。$\mathcal L$ を選べば波動・Klein–Gordon・Schrödinger の方程式が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第5章の第4節。式 (2.5.14) の面積分の項から、固定端・自由端・ばねつきの端の条件が出る。全発散を足しても方程式は変わらない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第5章の第5節。各点で Legendre 変換すると $\pi(\bm{x})$ と $\mathcal H$ ができる。$\{\phi(\bm{x}),\pi(\bm{y})\}=\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y})$ が場の量子化の出発点。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第5章の第6節。弦の素片に Newton の運動方程式を立てる導出と場の Euler–Lagrange 方程式からは同じ式が得られ、端の条件とエネルギーの流れも一致する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第5章の第7節。粒子の $L$ を空間の各点に並べると $\mathcal L$ になり、部分積分を発散定理に替えるだけで第1部の道具がそのまま使える。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第6章の第1節。場の変数は $\bm{E},\bm{B}$ でなく $A_\mu$。Lagrangian 密度は $-F^2/(4\mu_0)-J\cdot A$ で、3次元では $\varepsilon _0E^2/2-B^2/(2\mu_0)-\rho\phi+\bm{J}\cdot\bm{A}$。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第6章の第2節。4つの場 $A_\nu$ のそれぞれに場の Euler–Lagrange 方程式を当てる。必要な微分は $\partial(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})/\partial(\partial_\mu A_\nu)=4F^{\mu\nu}$ の1つだけ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第6章の第3節。Euler–Lagrange 方程式の4本は $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$。$\nu=0$ が Gauss、$\nu=i$ が変位電流つきの Ampère。$F$ の反対称性から電荷保存が要る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第6章の第4節。$\nabla\cdot\bm{B}=0$ と Faraday の法則は作用の停留から出るのでなく、$F=\partial A-\partial A$ の恒等式（Bianchi 恒等式）。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第6章の第5節。$S_{\text{粒子}}+S_{\text{相互作用}}+S_{\text{場}}$ を粒子で変分すると Lorentz 力、場で変分すると Maxwell 方程式。真空では波動方程式で速さ $1/\sqrt{\varepsilon _0\mu_0}$。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第6章の第6節。学部で習う4本の微分形と、$\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$・Bianchi 恒等式・連続の式を1対1に並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第6章の第7節。電磁場は $A_\mu$ を場とし $-F^2/(4\mu_0)-J\cdot A$ を選んだ理論。Euler–Lagrange 方程式が4本、Bianchi 恒等式が4本で Maxwell 方程式になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第7章の第1節。「場の対称性」を「すべての場の配位で $\delta\mathcal L=\epsilon\,\partial_\mu\Lambda^\mu$」と式で定義する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第7章の第2節。積の微分だけから恒等式を作り、保存する流れ $j^\mu$ を読み取る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第7章の第3節。内部対称性の Noether 流が、電荷と確率の流れになる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第7章の第4節。並進の Noether 流がエネルギー密度・エネルギーの流れ・運動量密度を1つのテンソルにまとめる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第7章の第5節。正準テンソルを対称に直すと、エネルギー密度・Poynting ベクトル・Maxwell の応力が1つのテンソルの成分になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第7章の第6節。連続の式・Poynting の定理・確率の流れ・弦のエネルギーの流れを、Noether 流の成分として読み直す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第7章の第7節。対称性 → Noether 流 → 局所的な連続の式、を内部対称性と時空の並進で1周させる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第8章の第1節。作用は $\bm{E},\bm{B}$ でなく $A_\mu$ で書くしかなく、そのことと引き換えに $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ という不定性が入る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第8章の第2節。パラメータが定数なら保存則（第1定理）、任意の関数なら Euler–Lagrange 式どうしの恒等式（第2定理）。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第8章の第3節。結合の項 $-J^\mu A_\mu$ がゲージ不変であることと、源の電荷が保存することは同じ条件である。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第8章の第4節。Hamilton 形式では $\phi$ が未定乗数、Gauss の法則が拘束になり、その拘束がゲージ変換の生成子になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第8章の第5節。ゲージ軌道から代表を1つ選ぶ条件が Lorenz・Coulomb ゲージ。ゲージで消せない $\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ が Aharonov–Bohm の位相になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第8章の第6節。ポテンシャルの導入・変位電流・Lorenz ゲージ・最小結合を、この章の恒等式と拘束の言葉に並べ直す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第8章の第7節。ゲージ不変性は保存量に結びつく対称性でなく、方程式の恒等式・源への条件・Hamilton 形式の拘束として現れる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第9章の第1節。源 $\rho,\bm{J}$ を外から決めた関数とし、場の部分（2次）と結合（1次）に分けた作用を選ぶ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第9章の第2節。2次の作用に1次の源を足したものを停留させて戻すと、停留値は $-\frac12\,j\cdot K^{-1}j$。場の方程式と、場を消去した源の Lagrangian が同時に出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第9章の第3節。停留の条件が Poisson 方程式、停留値が $-U_{\mathrm e}$。源の Lagrangian は Coulomb の位置エネルギーで、最小原理から容量の上界が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第9章の第4節。静磁場の停留値は $+U_{\mathrm m}$。電流は速度、インダクタンスは質量で、平行電流が引き合う符号がここで決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第9章の第5節。遅延の Green 関数のうち、作用の2次形式に入るのは時間について対称な部分だけ。対称な部分から Darwin の Lagrangian、反対称な部分から放射の反作用と Larmor の公式が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第9章の第6節。エネルギーの微分で力を出す式、Neumann の公式、Kirchhoff の法則、遠方の Poynting ベクトルの積分を、この章の式に並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第9章の第7節。場を消去すると源の Lagrangian が出る。静的な場では $L_{\mathrm{eff}}=U_{\mathrm m}-U_{\mathrm e}$、時間に依る場では時間対称な部分だけが作用に入り、放射は残りの部分から出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第10章の第1節。光路長 $\ell=\int n\,\mathrm{d} s$ を作用に選び、光が進む向き $z$ を時刻の代わりにとった Lagrangian $L=n\sqrt{1+x'^2+y'^2}$ を書く。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第10章の第2節。光線の方程式 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s}(n\frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} s})=\nabla n$、光線の Hamiltonian $H=-\sqrt{n^2-p_x^2-p_y^2}$、並進対称性の保存量としての Snell の法則を出す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第10章の第3節。波面を決める光路長の関数 $\mathcal S(\bm{r})$ が満たす $\lvert \nabla\mathcal S\rvert ^2=n^2$ は光線の $H$ の Hamilton–Jacobi 方程式。波の方程式から $\lambda_0\to0$ の極限で出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第10章の第4節。光軸の近くでは光線の $H$ が2次式になり、伝搬・屈折・レンズが行列式 $1$ の $2\times2$ 行列（線形正準変換）で書ける。屈折率が放物型の媒質は調和振動子。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第10章の第5節。光線の相空間 $(x,y,p_x,p_y)$ の体積はエタンデュ $n^2\cos\theta\,\mathrm{d} A\,\mathrm{d}\Omega$ で、光学系を通しても変わらない。集光の上限と明るさの保存がそこから出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第10章の第6節。Snell の法則・反射の法則・レンズの公式・レンズメーカーの式・Lagrange–Helmholtz の不変量・Huygens の原理を、この章の式と並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第10章の第7節。光線の力学は、光路長を作用に選んだ解析力学そのもの。Snell・アイコナール・ABCD・エタンデュは Noether・Hamilton–Jacobi・正準変換・Liouville の姿。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第11章の第1節。慣性質量と重力質量が等しいので、重力は $m$ に依らない計量 $g_{\mu\nu}$ に入れる。弱い場では $g_{00}=1+2\Phi/c^2$ で Newton の $-m\Phi$ に戻る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第11章の第2節。一様な重力は自由落下する座標へ取り替えると Lagrangian の全微分の項に吸収されて消える。消せないのは2階微分の潮汐力だけで、これが「重力は計量の曲がり」と書くしかない理由になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第11章の第3節。双曲運動の観測者の族で座標を張ると平坦な時空の計量が $g_{00}=(1+a\xi/c^2)^2$ になる。重力の無い所に、座標の取り方として一様な重力が現れる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第11章の第4節。計量が時刻によらないことに Noether の定理を当てると、静止した時計の固有時は $\sqrt{g_{00}}\,\mathrm{d} t$、光の振動数は $\nu\sqrt{g_{00}}$ が一定。弱い場で $\Delta\nu/\nu=-\Delta\Phi/c^2$。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第11章の第5節。軌道上の時計の進みは $1+\Phi/c^2-v^2/(2c^2)$。GPS では1日に重力で $+45.7\,\mu$s、速さで $-7.2\,\mu$s、差し引き $+38.5\,\mu$s。光格子時計は 1 cm の高さの違い（$1.1\times10^{-18}$）を読む。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第11章の第6節。慣性力・光子の「質量」の議論・エレベーターの Doppler の議論は、Rindler 計量の $\sqrt{g_{00}}$ の比を $1/c^2$ の1次で展開したものにあたる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第11章の第7節。重力を計量 $g_{\mu\nu}$ に入れた固有時の作用を選ぶと、等価原理・Rindler 座標・重力赤方偏移が第1部の座標変換と Noether の定理から出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第12章の第1節。作用 $-mc\int\mathrm{d} s$ の $\eta_{\mu\nu}$ を $g_{\mu\nu}(x)$ に替える。時計の進みが場所と速さで変わることは、この1行に入っている。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第12章の第2節。Euler–Lagrange 方程式を4つの $x^\mu(\lambda)$ に当てる。径数の取り替えの自由度と、第1部第2章の「質量行列が配置の空間の計量になる」をここで使う。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第12章の第3節。Euler–Lagrange 方程式から測地線方程式と Christoffel 記号が出る。固有時を径数にすると平方根を外した $L=\frac12g\dot x\dot x$ に置き換えられる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第12章の第4節。$g_{00}\approx1+2\Phi/c^2$ の測地線方程式の先頭の項は $\ddot{\bm{x}}=-\nabla\Phi$。$L$ の展開では $-mc^2+\frac12mv^2-m\Phi$ が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第12章の第5節。計量が変えない座標の取り替え（Killing ベクトル）に第1部第10章の Noether の定理を当てると、エネルギー・角運動量の保存と重力赤方偏移が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第12章の第6節。Newton の重力・慣性力・面積速度・重力赤方偏移と、測地線の言葉を式で並べる。慣性力は回転座標の Christoffel 記号である。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第12章の第7節。作用 $-mc\int\mathrm{d} s$ の $\eta$ を $g(x)$ に替えるだけで、測地線方程式・Newton 極限・Killing の保存量が第1部の道具から順に出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第13章の第1節。曲がった面は1枚の座標で覆えないことがあり、何枚かの座標を滑らかな取り替えで貼り合わせたものとして扱う。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第13章の第2節。速度のように「向き」を持つ量（反変・上付き添字）と、勾配のように「傾き」を持つ量（共変・下付き添字）は、座標の取り替えで逆の行列で変わり、縮約すると座標によらない数になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第13章の第3節。接ベクトルと余接ベクトルを何個か組み合わせた変換則を持つ量がテンソルで、計量は下付き2つの対称テンソル。長さ・角度・体積・添字の上げ下げはすべて計量から作る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第13章の第4節。ベクトルの成分の偏微分はテンソルにならない。Christoffel 記号を足した共変微分がテンソルになり、Christoffel 記号そのものはテンソルでないので、1点で0にできる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第13章の第5節。共変微分が0になるようにベクトルを曲線に沿って運ぶ操作が平行移動で、閉じた道を1周すると向きが変わることがある。接ベクトルを平行移動しながら進む曲線が測地線。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第13章の第6節。極座標の加速度・曲線座標の勾配と発散とラプラシアン・特殊相対論の添字の上げ下げは、どれもこの章の共変微分と計量の特別な場合。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第13章の第7節。座標の取り替えでの変わり方を基準に、ベクトル・テンソル・計量・共変微分・平行移動を作った。Christoffel 記号はテンソルでなく1点で消せるが、道による平行移動のずれは消せない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第14章の第1節。共変微分の交換子として Riemann テンソルを定義し、小さなループに沿って一周させたベクトルの回転がこのテンソルで書けることを示す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第14章の第2節。局所慣性系で Riemann テンソルを計量の2階微分だけで書き、対称性・独立な成分の数・2つの Bianchi 恒等式を読み取る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第14章の第3節。近くの2本の測地線の間隔の加速度が Riemann テンソルで書けることを示し、弱い場で Newton の潮汐力に一致させる。潮汐力は時空の曲率そのものである。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第14章の第4節。Riemann テンソルの縮約（Ricci テンソル）は、自由落下する粒子の雲の体積の2階微分を表す。物質の無い所では 0 になり、Einstein 方程式の左辺の材料になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第14章の第5節。曲率が一定の空間（最大対称空間）の曲率を計算し、測地円の周の不足からスカラー曲率を測る方法を示す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第14章の第6節。曲面論の Gauss 曲率 $1/(R_1R_2)$・力学の潮汐力の式・Poisson 方程式を、この章の Riemann テンソル・潮汐テンソル・Ricci テンソルと並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第14章の第7節。Riemann テンソル＝共変微分の交換子＝ループのずれ＝測地線偏差の係数。その縮約が体積の縮み方で、Einstein 方程式の左辺の材料になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第15章の第1節。計量から作れる最も簡単なスカラー $R$ を、不変な体積要素 $\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x$ で積分したものを重力場の作用に選ぶ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第15章の第2節。$\sqrt{-g}$・逆計量・$R_{\mu\nu}$ の変分の3つの公式をそろえ、$\delta R_{\mu\nu}$ の寄与が全発散になることを示す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第15章の第3節。作用の計量微分を $0$ と置くと $G_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$ が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第15章の第4節。作用が座標の取り替えで変わらないことの Noether 恒等式が、縮約 Bianchi 恒等式と物質の保存則になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第15章の第5節。弱い静的な場で Einstein 方程式が Poisson 方程式に戻ることを要求して $8\pi G/c^4$ と作用の符号を決め、$\Lambda$ を斥力として読む。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第15章の第6節。Newton の重力の Lagrangian 密度が Einstein–Hilbert 作用の弱い場での2次の項であることを確かめ、教科書ごとの符号の違いを並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第15章の第7節。作用を選ぶ → 計量で変分 → Einstein 方程式、座標の取り替えの不変性 → 保存則、Newton 極限 → 係数、を1周させる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第16章の第1節。球対称の仮定で未知関数を2つに減らし、Ricci テンソルの3成分から Schwarzschild 計量を出す。積分定数は Newton 極限で決める。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第16章の第2節。計量が $t$ と $\varphi$ によらないことから Noether で2つの保存量を出し、動径の運動を Kepler 問題と同じ「1次元＋有効ポテンシャル」に落とす。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第16章の第3節。軌道の式の $3GMu^2/c^2$ を摂動として扱い、1周あたり $6\pi GM/[c^2a(1-e^2)]$ の近日点の進みを出す。水星で 1 世紀に $43''$。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第16章の第4節。光の軌道の式から曲がり角 $4GM/(c^2b)$ を出し、同じ値を屈折率 $n=1+2GM/(c^2r)$ の Fermat の原理からも出す。太陽の縁で $1.75''$。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第16章の第5節。同じ屈折率 $n=1+2GM/(c^2r)$ から、光の到着の遅れ（Shapiro 遅延）と、像の位置と増光（重力レンズ）を出す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第16章の第6節。学部の一般相対論入門の「3つの検証」の公式と、Newton の Binet の式・光の粒子の曲がり・PPN の係数を、この章の式と並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第16章の第7節。$R_{\mu\nu}=0$ を解いて計量を決め、その上で第1部の Noether と有効ポテンシャルを当てると、太陽系の検証がすべて $r_{\mathrm s}/r$ の1次の量として出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第17章の第1節。固有時の作用から出る2つの保存量だけで、落下する粒子が $r=r_{\mathrm s}$ に有限の固有時で着くのに、座標時間 $t$ は無限大になることが分かる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第17章の第2節。曲率のスカラーは $r=r_{\mathrm s}$ で有限で、発散するのは $r=0$ だけ。座標の特異点を取り除くには、光の世界線を座標の目盛りに使う。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第17章の第3節。内向きの光に沿う座標で計量は $r=r_{\mathrm s}$ を越えて正則になり、地平面の内側では光円錐が内側へ倒れて、未来へ進む世界線はすべて $r$ が減る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第17章の第4節。内向きと外向きの両方の光を目盛りにすると、Schwarzschild 時空全体が4つの領域からなる1枚の図になり、時刻 $t$ の並進はその図の Lorentz ブーストになる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第17章の第5節。第2部第16章の有効ポテンシャルを $r\lesssim3r_{\mathrm s}$ まで追うと、光の円軌道 $3GM/c^2$、安定な円軌道の内側の端 $6GM/c^2$、影の半径 $3\sqrt3\,GM/c^2$ が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第17章の第6節。脱出速度・中心力の有効ポテンシャル・一様加速系という学部の3つの形が、それぞれ地平面・最内安定円軌道・地平面の近くの幾何と対応する。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第17章の第7節。固有時の作用・座標によらない量・光で作る座標の3つで、地平面は因果の境界、特異点は $r=0$、軌道の特別な半径は $3GM/c^2$ と $6GM/c^2$ と読める。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第18章の第1節。$g=\eta+h$ と分けて Einstein–Hilbert 作用を $h$ の2次まで展開すると、$h_{\mu\nu}$ を平坦な時空の上の場とする作用（Fierz–Pauli の形）が得られる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第18章の第2節。調和ゲージで方程式は波動方程式になり、拘束4本とゲージ4つを引くと10成分のうち動く自由度は2つ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第18章の第3節。真空の重力波は進む向きに垂直な面の中の跡 0 の対称行列で書け、$h_+$ と $h_\times$ が質点の輪を互いに 45° 回った向きに伸び縮みさせる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第18章の第4節。2次の作用からエネルギーの流れ $c^3\langle\dot h_+^2+\dot h_\times^2\rangle/(16\pi G)$ を、遅延解から四重極公式 $P=\frac{G}{5c^5}\langle\dddot Q_{ij}\dddot Q_{ij}\rangle$ を出す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第18章の第5節。放射の仕事率と軌道のエネルギーの収支から、Hulse–Taylor の周期の減少と GW150914 のチャープ質量が同じ式で出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第18章の第6節。電磁気の Lorenz ゲージの波動方程式と双極子放射・Newton のポテンシャルが、この章の式のどこに当たるかを並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第18章の第7節。重力波は Einstein–Hilbert 作用の2次の部分を選んだ場の理論で、ゲージ・拘束・エネルギーの流れ・放射はすべて電磁場と同じ道具で出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第19章の第1節。定常なブラックホールは質量・角運動量・電荷の3つの数で決まり、地平面の面積・角速度・表面重力はその関数になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第19章の第2節。計量の対称性に Noether を当てるとエネルギーと角運動量が保存し、地平面の Killing ベクトルの「加速度」が表面重力 $\kappa$ になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第19章の第3節。表面重力は地平面の上で一定で（第零法則）、質量の公式 $M(A,J)$ の偏微分が $\kappa c^2/(8\pi G)$ と $\Omega_{\mathrm H}$ を与える（第一法則）。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第19章の第4節。古典的な過程で地平面の面積は減らない（第二法則）。この制約のもとで回転のエネルギーは $Mc^2-M_{\mathrm{irr}}c^2$ まで取り出せる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第19章の第5節。極限 Kerr で $\kappa=0$ になる。4法則を熱力学と並べると $\kappa\leftrightarrow T$、$A\leftrightarrow S$ の対応が見え、係数は $\hbar$ を入れて初めて決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第19章の第6節。熱力学の授業の $\mathrm{d} U=T\mathrm{d} S+\Omega\mathrm{d} J$・Euler の関係・Nernst の定理と、ブラックホールの第一法則・Smarr の公式・極限 Kerr を式で並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第19章の第7節。Kerr 解の $(M,J)$ から $A,\kappa,\Omega_{\mathrm H}$ が決まり、Noether の保存量と面積定理が熱力学と同じ形の4法則を与える。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第1章の第1節。統計力学で選ぶのは相空間の上の $H$ と確率密度 $\rho(q,p,t)$。1つの初期値でなく初期値の集まりを動かす。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第1章の第2節。Hamilton 方程式の流れは、$H$ が時刻を含んでいても相空間の体積を変えない（Liouville の定理）。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第1章の第3節。確率密度は軌道に沿って一定に運ばれる。それを偏微分方程式で書くと $\partial\rho/\partial t=\{H,\rho\}$。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第1章の第4節。時間によらない分布は $\{H,\rho\}=0$ を満たすもの。$f(H)$ の形はすべてそうで、ミクロカノニカル分布もカノニカル分布もこの仲間。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第1章の第5節。$-\int\rho\ln\rho$ は Liouville の流れで厳密に一定。分布は細い筋に引き伸ばされ、粗く見たエントロピーだけが増える。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第1章の第6節。流体の連続の方程式・統計力学の「相空間の升目」・量子力学の von Neumann 方程式と、Liouville 方程式を並べる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第1章の第7節。相空間の体積は保たれ、密度は軌道に沿って一定。定常分布は保存量の関数。細かいエントロピーは一定で、粗く見たものだけが増える。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第2章の第1節。分かっているのは $E,V,N$ だけで、相空間のどの点にいるかは知らない。その知らなさを分布 $\rho$ で表す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第2章の第2節。相空間の体積で一様な分布だけが時間で形を変えない。自由度1では殻の上の測度が $\mathrm{d} t$ そのものになる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第2章の第3節。理想気体の $\Phi(E)$ は $3N$ 次元の球の体積。$h$ は量子化の条件から、$N!$ は粒子を入れ替えても同じ状態であることから入る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第2章の第4節。2つの系を触れさせると、状態数の積を最大にするエネルギーの分け方がほぼ確実に実現し、そこで $\partial S/\partial E$ がそろう。これを $1/T$ と呼ぶ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第2章の第5節。高次元の球の体積はほとんど表面の近くにある。そのため殻の厚み $\Delta E$ も、殻と球の違いも、エントロピーの $\mathcal{O}(\ln N)$ の項しか変えない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第2章の第6節。授業の「微視的状態を等確率で数える」は、相空間を $h^{3N}N!$ のます目に区切って数えることにあたる。何を一様に数えるかは Liouville の定理が決める。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第2章の第7節。等重率＝相空間の体積で一様、状態数＝体積を $h^{3N}N!$ で割った数、エントロピー＝その対数、温度＝そのエネルギー微分の逆数。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第3章の第1節。相空間の上の $H$ をそのまま使い、$\mathrm{e}^{-\beta H}/Z$ という分布を置く。この章の結果はすべてこの1行から出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第3章の第2節。Liouville の定理と未定乗数という第1部の道具だけで、$\mathrm{e}^{-\beta H}$ の形が決まる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第3章の第3節。ミクロカノニカル分布から出発し、熱浴が大きい極限でカノニカル分布を導く。$\beta$ が熱浴の $\partial\ln W/\partial E$ であることが分かる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第3章の第4節。$\ln Z$ の $\beta$ 微分が内部エネルギー、2回微分がエネルギーの揺らぎ、$- k_{\mathrm B} T\ln Z$ が自由エネルギー。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第3章の第5節。運動エネルギーが運動量の2次式なら、運動量の分布は相互作用によらず Maxwell 分布。位置の分布は $\mathrm{e}^{-\beta V}$。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第3章の第6節。量子の和 $\sum_i\mathrm{e}^{-\beta E_i}$ と古典の積分の関係を、$h^{3N}$（状態1つの体積）と $N!$（同種粒子）から確かめる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第3章の第7節。$\mathrm{e}^{-\beta H}/Z$ を3通りに導き、$\ln Z$ を微分して熱力学を出した。次の章でこれを Legendre 変換として並べ直す。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第4章の第1節。状態数から得た $S(E,V,N)$ を $E$ について解いた $U(S,V,N)$ が出発点。1次同次性と凸性の2つの性質を持つ。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第4章の第2節。取り替える変数の組を1つ選ぶごとにポテンシャルが1つ決まる。示量変数を全部取り替えると $0$ しか残らない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第4章の第3節。どの変数を外から決めるかでどのポテンシャルが最小になるかが決まり、2階偏微分の対称性から Maxwell 関係式が出る。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第4章の第4節。$Z(\beta)=\int W(E)\mathrm{e}^{-\beta E}\mathrm{d} E/\Delta E$ の対数は、粒子数が大きいと被積分関数の最大値で決まり、その最大値が $U(S)$ の Legendre 変換になる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第4章の第5節。Legendre 変換は凸でない部分を凸包に置き換える。これが気体と液体の共存で、$G(P)$ の折れ目が1次相転移の体積の跳びになる。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部 第4章の第6節。授業の「$\mathrm{d}(TS)$ を引いて変数を入れ替える」導出は Legendre 変換の導関数の規則だけを使ったもので、最小原理と凸性が書かれていない。AI（Claude）が書いた本文を、木下が勉強しながら公開しています。