量子平均場極限の定理：Pickl の数え上げ法

$\gamma-p=(p\gamma p-p)+p\gamma q+q\gamma p+q\gamma q$ と分ける。$p\gamma p=\langle \varphi,\,\gamma\varphi\rangle p=(1-\alpha)p$ なので第1項のトレースノルムは $\alpha$。$q\gamma q$ は正なのでトレースノルムはトレース $\alpha$ に等しい。$p\gamma q=| \varphi \rangle \langle q\gamma\varphi |$ は階数1で、トレースノルムは$\lVert q\gamma\varphi\rVert \le\lVert q\gamma^{1/2}\rVert \,\lVert \gamma^{1/2}\varphi\rVert \le\sqrt{\operatorname{Tr}(q\gamma q)}\cdot1=\sqrt\alpha$（$\lVert q\gamma^{1/2}\rVert ^2=\lVert q\gamma q\rVert \le\operatorname{Tr}(q\gamma q)$ を使った）。$q\gamma p$ も同じ。合計で上界を得る。下界は $\alpha=\operatorname{Tr}(q(\gamma-p))\le\lVert q\rVert \,\lVert \gamma-p\rVert _1$ による。

$\psi=\psi_N(t)$、$V=W*\lvert \varphi_t\rvert ^2$、$\lVert W\rVert =\lVert W\rVert _\infty$ と略記する。$\lVert V\rVert _\infty\le\lVert W\rVert$ である。以下の計算は $\psi$ と $\varphi_t$ が十分滑らかとして行う（有界な $W$ では $H_N$ の定義域は $-\Delta$ のものと同じなので、滑らかな初期値で示してから近似で一般の $L^2$ の初期値へ広げられる）。

(i) α の時間微分。 $\mathrm{i}\partial_t\varphi_t=(h+V)\varphi_t$ から $\partial_tp=-\mathrm{i}\left[h+V,\,p\right]$、よって $\partial_tq_1=\mathrm{i}\left[h_1+V_1,\,q_1\right]$。また $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \psi,\,A\psi\rangle =\langle \psi,\,(\partial_tA+\mathrm{i}\left[H_N,\,A\right])\psi\rangle$ なので

$$\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t}=\mathrm{i}\,\langle \psi,\,\left[H_N-h_1-V_1,\,q_1\right]\psi\rangle .$$

$H_N$ のうち $q_1$ と交換しないのは $h_1$ と $W_{1j}$（$j\ge2$）だけで、$h_1$ は引き算で消える。ボソンの対称性から $W_{1j}$ の寄与はすべて $W_{12}$ と同じなので、$\frac1{N-1}\sum_{j\ge2}W_{1j}$ は $W_{12}$ に置き換えてよく、$A:=W_{12}-V_1$ として

$$\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t}=\mathrm{i}\bigl(\langle \psi,\,Aq_1\psi\rangle -\langle \psi,\,q_1A\psi\rangle \bigr)=-2\operatorname{Im}\langle \psi,\,Aq_1\psi\rangle .$$

左に $1=p_1+q_1$ を挿むと、$\langle \psi,\,q_1Aq_1\psi\rangle$ は実数（$A$ は自己共役）なので虚部に寄与しない。さらに左右に $1=p_2+q_2$ を挿むと、$\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t}=-2\operatorname{Im}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d})$ で

$$\mathrm a=\langle \psi,\,p_1p_2Aq_1p_2\psi\rangle ,\ \ \mathrm b=\langle \psi,\,p_1p_2Aq_1q_2\psi\rangle ,\ \ \mathrm c=\langle \psi,\,p_1q_2Aq_1p_2\psi\rangle ,\ \ \mathrm d=\langle \psi,\,p_1q_2Aq_1q_2\psi\rangle .$$

(ii) Hartree の場が打ち消すもの。 恒等式 (6.11) の作用素版 $p_2W_{12}p_2=V_1p_2$ から$p_1p_2Aq_1p_2=p_1(p_2W_{12}p_2-V_1p_2)q_1=0$、すなわち $\mathrm a=0$。これが平均場 $V=W*\lvert \varphi\rvert ^2$ を選んだ理由そのものである。平均場は「粒子2が凝縮にいるときに粒子1が感じる力」を正確に差し引くので、凝縮どうしの相互作用は $\alpha$ を変えない。$\mathrm b$ と $\mathrm d$ の $V_1$ の部分は $p_2V_1q_2=V_1p_2q_2=0$ で消え、$\mathrm c$ の $V_1$ の部分も $q_2V_1p_2=0$ で消える。$\mathrm c=\langle \psi,\,p_1q_2W_{12}q_1p_2\psi\rangle$ は、粒子1と2の入れ替えで作用素がその共役に移り、$\psi$ が対称なので実数になる。よって

$$\Bigl|\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t}\Bigr|\le2\lvert \mathrm b\rvert +2\lvert \mathrm d\rvert .$$

残る b と d を評価する。

(iii) d の評価（凝縮から外れた粒子が関わる項）。 $\lVert q_2\psi\rVert ^2=\lVert q_1\psi\rVert ^2=\alpha$（対称性）、$\lVert q_1q_2\psi\rVert \le\lVert q_1\psi\rVert$ を使い

$$\lvert \mathrm d\rvert =\lvert \langle p_1q_2\psi,\,(W_{12}-V_1)q_1q_2\psi\rangle \rvert \le\lVert q_2\psi\rVert \cdot2\lVert W\rVert \cdot\lVert q_1\psi\rVert =2\lVert W\rVert \alpha.$$

(iv) b の評価（2粒子が同時に凝縮から飛び出す項）。 素朴には $\lvert \mathrm b\rvert \le\lVert W\rVert \lVert q_1q_2\psi\rVert \le\lVert W\rVert \sqrt\alpha$ で、これでは $\alpha'\lesssim\sqrt\alpha$ となって $\alpha(0)=0$ から小ささが出ない。そこで、対称性を使って $W_{12}$ を $N-1$ 本に広げ直す。

$$\lvert \mathrm b\rvert =\Bigl|\frac1{N-1}\sum_{j=2}^N\langle q_1q_j\psi,\,W_{1j}p_1p_j\psi\rangle \Bigr| =\frac1{N-1}\Bigl|\Bigl\langle q_1\psi,\ \sum_{j=2}^Nq_jW_{1j}p_1p_j\psi\Bigr\rangle\Bigr| \le\frac{\sqrt\alpha}{N-1}\Bigl\|\sum_{j=2}^Nq_jW_{1j}p_1p_j\psi\Bigr\|.$$

右辺のノルムの2乗を展開すると、$j=k$ の項は $N-1$ 個でそれぞれ $\lVert W\rVert ^2$ 以下。$j\ne k$ の項では、$q_k$ が粒子 $1,j$ の作用素と、$q_j$ が粒子 $1,k$ の作用素と交換するので

$$\langle \psi,\,p_1p_jW_{1j}q_jq_kW_{1k}p_1p_k\psi\rangle =\langle q_k\psi,\,p_1p_jW_{1j}W_{1k}p_1p_k\,q_j\psi\rangle$$

と並べ替えられ、大きさは $\lVert W\rVert ^2\lVert q_k\psi\rVert \lVert q_j\psi\rVert =\lVert W\rVert ^2\alpha$ 以下である。こちらは $(N-1)(N-2)$ 個あるので

$$\lvert \mathrm b\rvert \le\frac{\sqrt\alpha}{N-1}\lVert W\rVert \sqrt{(N-1)+(N-1)^2\alpha} \le\lVert W\rVert \Bigl(\alpha+\sqrt{\tfrac{\alpha}{N-1}}\Bigr)\le\lVert W\rVert \Bigl(\tfrac32\alpha+\tfrac1{2(N-1)}\Bigr).$$

最後に $\sqrt{ab}\le(a+b)/2$ を使った。ここで $1/N$ が出てくる仕組みが見える。2粒子が同時に凝縮から飛び出す振幅は、1対あたり $1/(N-1)$ と小さく、異なる対どうしの交差項は、どちらの側にも凝縮から外れた粒子を含むので $\alpha$ 程度に小さく、振幅の和の2乗は $(N-1)^2$ でなく $N-1$ 程度（と $\alpha N^2$）にしかならない。

(v) Grönwall で閉じる。 (ii)〜(iv) から

$$\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t}\le2\lVert W\rVert \Bigl(\tfrac32\alpha+\tfrac1{2(N-1)}\Bigr)+4\lVert W\rVert \alpha=\lVert W\rVert \Bigl(7\alpha+\frac1{N-1}\Bigr).$$

$\alpha(0)=0$（初期値が積状態）なので、$(\mathrm{e}^{-7\lVert W\rVert t}\alpha)'\le\lVert W\rVert \mathrm{e}^{-7\lVert W\rVert t}/(N-1)$ を積分して$\alpha(t)\le(\mathrm{e}^{7\lVert W\rVert t}-1)/(7(N-1))$。トレースノルムの評価は補題 6.11 による。