量子版：BBGKY 階層と Hartree 方程式

2026年10月9日12分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第6章平均場極限：多体から一体へ

縮約密度行列
BBGKY 階層の導出
平均場スケーリングでの極限と、積状態による閉包
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

近似の数理　第6章 §6.4　★★★ 多体の方程式から一体の方程式を作ろうとすると「閉じない」階層が現れ、平均場近似はその打ち切りに当たる

縮約密度行列

量子系では $N$ 個のボソンの波動関数 $\psi_N(x_1,\dots,x_N)$ （変数の入れ替えで対称、 $\lVert \psi_N\rVert =1$ ）を考える。古典系の $k$ 粒子周辺分布に当たるのが $k$ 体縮約密度行列

$\gamma_N^{(k)}(x_1,\dots,x_k;y_1,\dots,y_k)=\int\psi_N(x_1,\dots,x_k,z)\,\overline{\psi_N(y_1,\dots,y_k,z)}\,\mathrm{d} z\tag{6.7}$

である（ $z=(z_{k+1},\dots,z_N)$ について積分する。これを部分トレース $\gamma_N^{(k)}=\operatorname{Tr}_{k+1,\dots,N}| \psi_N \rangle \langle \psi_N |$ と書く）。この核を持つ積分作用素 $\gamma_N^{(k)}$ は正（ $\langle u,\,\gamma u\rangle \ge0$ ）でトレースが 1 であり、 $k$ 粒子までの観測量の期待値はすべて $\gamma_N^{(k)}$ で決まる。たとえば $\langle \psi_N,\,A_1\psi_N\rangle =\operatorname{Tr}(A\gamma_N^{(1)})$ である。積状態 $\psi_N=\varphi^{\otimes N}$ なら $\gamma_N^{(k)}=| \varphi \rangle \langle \varphi |^{\otimes k}$ になる。

縮約密度行列の差を測るにはトレースノルムを使う。自己共役なトレースクラスの作用素 $A$ （固有値の絶対値の和が有限なもの）について $\lVert A\rVert _1=\operatorname{Tr}\lvert A\rvert =\sum\lvert \lambda_n\rvert$ と定める。 $\lVert A\rVert _1$ が小さいことは、すべての有界な観測量 $B$ について $\lvert \operatorname{Tr}(BA)\rvert \le\lVert B\rVert \lVert A\rVert _1$ が小さいことを意味する。古典の $W_1$ に当たる量だが、量子では状態が波動関数（重ね合わせ）なので、点の輸送のような幾何は無く、作用素のノルムで足りる。

BBGKY 階層の導出

ハミルトニアン (6.1) で $h=-\Delta$ とし、 $\mathrm{i}\partial_t\psi_N=H_N\psi_N$ に従う時間発展を考える。

命題 6.8（BBGKY 階層 ★★★）

$k=1,\dots,N$ について

$\mathrm{i}\partial_t\gamma_N^{(k)}=\sum_{j=1}^k\left[h_j,\,\gamma_N^{(k)}\right]+\lambda_N\sum_{1\le i<j\le k}\left[W_{ij},\,\gamma_N^{(k)}\right] +\lambda_N(N-k)\sum_{j=1}^k\operatorname{Tr}_{k+1}\left[W_{j,k+1},\,\gamma_N^{(k+1)}\right].\tag{6.8}$

ここで $W_{ij}$ は $W(x_i-x_j)$ を掛ける作用素、 $\operatorname{Tr}_{k+1}$ は $k+1$ 番目の変数についての部分トレースである。

証明

$k=1$ の場合を核で計算する（一般の $k$ も同じ計算である）。(6.7) を時間微分して $\mathrm{i}\partial_t\psi=H\psi$ を使うと

$\mathrm{i}\partial_t\gamma^{(1)}(x;y)=\int\Bigl[(H\psi)(x,z)\overline{\psi(y,z)}-\psi(x,z)\overline{(H\psi)(y,z)}\Bigr]\mathrm{d} z$

となる。 $H$ の項を一つずつ見る。

$h_1$ ： $x$ と $y$ にそれぞれ作用して $(h_x-h_y)\gamma^{(1)}(x;y)$ 、これは作用素として $\left[h,\,\gamma^{(1)}\right]$ の核である。
$h_j$ （ $j\ge2$ ）： $z_j$ について積分しているので、 $h$ の自己共役性（部分積分）から $\int(h_j\psi)\bar\psi\,\mathrm{d} z_j=\int\psi\,\overline{h_j\psi}\,\mathrm{d} z_j$ となって打ち消し合う。
$W_{ij}$ （ $i,j\ge2$ ）：掛け算の作用素で、 $x$ 側と $y$ 側で同じ値 $W(z_i-z_j)$ を掛けるので差は 0。
$W_{1j}$ （ $j\ge2$ ）： $\bigl[W(x-z_j)-W(y-z_j)\bigr]\psi(x,z)\overline{\psi(y,z)}$ を積分する。 $z_j$ 以外を積分すると $\gamma^{(2)}(x,z_j;y,z_j)$ が現れ、 $\int[W(x-z_j)-W(y-z_j)]\gamma^{(2)}(x,z_j;y,z_j)\,\mathrm{d} z_j$ となる。これは $\operatorname{Tr}_2\left[W_{12},\,\gamma^{(2)}\right]$ の核であり、ボソンの対称性から $N-1$ 個の $j$ で同じ値になる。

以上を合わせて $\mathrm{i}\partial_t\gamma^{(1)}=\left[h,\,\gamma^{(1)}\right]+\lambda_N(N-1)\operatorname{Tr}_2\left[W_{12},\,\gamma^{(2)}\right]$ を得る。

式 (6.8) の最後の項が要点である。 $\gamma^{(1)}$ の方程式には $\gamma^{(2)}$ が、 $\gamma^{(2)}$ の方程式には $\gamma^{(3)}$ が現れ、どの段も次の段を含む。有限の $k$ で切ると方程式が閉じない。全体は $k=N$ で $N$ 体の Schrödinger 方程式そのものに戻るので、階層は元の問題と同じ難しさを持つ。この構造は量子に固有のものではなく、古典の Liouville 方程式から周辺分布の方程式を作っても同じ階層が現れる（BBGKY は Bogoliubov・Born・Green・Kirkwood・Yvon の頭文字である）。第9章で扱う乱流のクロージャー問題、つまり平均流の方程式に2次相関（Reynolds 応力）が現れ、その方程式に3次相関が現れる、という無限の連鎖も同じ構造をしている。違いは、平均場スケーリングには小さいパラメータ $1/N$ があり、閉じ方が極限として導かれるのに対し、乱流にはそれが無く、閉じ方をモデルとして置くしかない（C 型）ことである。

平均場スケーリングでの極限と、積状態による閉包

$\lambda_N=1/(N-1)$ とすると、(6.8) の第2項の係数は $1/(N-1)\to0$ 、第3項の係数は $(N-k)/(N-1)\to1$ になる。形式的に $N\to\infty$ とすると、Hartree 階層

$\mathrm{i}\partial_t\gamma^{(k)}=\sum_{j=1}^k\left[h_j,\,\gamma^{(k)}\right]+\sum_{j=1}^k\operatorname{Tr}_{k+1}\left[W_{j,k+1},\,\gamma^{(k+1)}\right]\tag{6.9}$

を得る。これも閉じていない無限の連立方程式だが、特別な解を持つ。

命題 6.9（積状態は階層を閉じる ★★★）

$\varphi_t$ が Hartree 方程式

$\mathrm{i}\partial_t\varphi=-\Delta\varphi+(W*\lvert \varphi\rvert ^2)\varphi\tag{6.10}$

を満たすなら、 $\gamma^{(k)}=| \varphi_t \rangle \langle \varphi_t |^{\otimes k}$ （ $k=1,2,\dots$ ）は Hartree 階層 (6.9) の解である。

証明

$p=| \varphi \rangle \langle \varphi |$ 、 $V=W*\lvert \varphi\rvert ^2$ とおく。鍵になる恒等式は

$\operatorname{Tr}_2\bigl[W_{12}\,(p\otimes p)\bigr]=V\,p,\qquad \operatorname{Tr}_2\bigl[(p\otimes p)\,W_{12}\bigr]=p\,V\tag{6.11}$

である。左の式の核は $\int W(x-z)\varphi(x)\varphi(z)\overline{\varphi(y)}\,\overline{\varphi(z)}\,\mathrm{d} z=(W*\lvert \varphi\rvert ^2)(x)\varphi(x)\overline{\varphi(y)}$ で、これは $Vp$ の核に等しい。右の式も同様である。これを $\gamma^{(k+1)}=p^{\otimes(k+1)}$ の $j$ 番目と $k+1$ 番目に使うと $\operatorname{Tr}_{k+1}\left[W_{j,k+1},\,p^{\otimes(k+1)}\right]=\left[V_j,\,p^{\otimes k}\right]$ となり、(6.9) の右辺は $\sum_j\left[h_j+V_j,\,p^{\otimes k}\right]$ になる。一方、(6.10) から $\mathrm{i}\partial_tp=\left[h+V,\,p\right]$ であり、積の微分で $\mathrm{i}\partial_tp^{\otimes k}=\sum_j\left[h_j+V_j,\,p^{\otimes k}\right]$ 。両辺が一致する。

この命題が平均場近似の「閉じ方」の正体である。多体の相関を捨てて「2粒子の状態は1粒子の状態の積」と置くと、階層は第1段で閉じ、1粒子の非線形方程式（Hartree 方程式）になる。ポテンシャル $V=W*\lvert \varphi\rvert ^2$ は「他のすべての粒子が平均としてつくる場」である。

階層による証明の難所

命題 6.9 は「積状態は極限の階層を満たす」と言っているだけで、「 $N$ 体の解の極限が積状態になる」とは言っていない。後者を階層の方法で示すには、(1) $\gamma_N^{(k)}$ の部分列が何かに収束し、(2) その極限が Hartree 階層を満たし、(3) Hartree 階層の解が初期値から一意に決まる、の3段階が要る。(3) が難所で、有界な $W$ なら級数展開で示せる（Spohn）が、クーロン型や接触型の相互作用では Erdős–Schlein–Yau による長大な組合せ論的評価が必要になった。次節では、この難所を迂回する別の方法を述べる。

例題 6.4　BBGKY 第1式と閉包の確認 ★★★

オリジナル[標準的な題材を自作] $N=2$ のボソン系 $H=h_1+h_2+W_{12}$ （ $\lambda=1$ ）を考える。

$\gamma^{(1)}$ の方程式が $\mathrm{i}\partial_t\gamma^{(1)}=\left[h,\,\gamma^{(1)}\right]+\operatorname{Tr}_2\left[W_{12},\,\gamma^{(2)}\right]$ になることを、 $\gamma^{(2)}=| \psi \rangle \langle \psi |$ に注意して確かめよ。
$\psi=\varphi\otimes\varphi$ を仮に代入したとき、右辺が $\left[h+W*\lvert \varphi\rvert ^2,\,\gamma^{(1)}\right]$ になることを示せ。
(2) の右辺が正しい $\gamma^{(1)}$ の時間微分と一致し続けないのはなぜか。 $N=2$ と $N\to\infty$ で何が違うかを述べよ。

解答

(1) 命題 6.8 の証明で $N=2$ 、 $\lambda_N=1$ とすれば、 $W_{1j}$ の項は $j=2$ の1つだけで、係数 $\lambda_N(N-1)=1$ である。 $N=2$ では $\gamma^{(2)}$ は2体の状態そのもの $| \psi \rangle \langle \psi |$ であり、階層は2段で閉じている（第2段は Schrödinger 方程式）。

(2) $\gamma^{(2)}=p\otimes p$ とすれば恒等式 (6.11) から $\operatorname{Tr}_2\left[W_{12},\,p\otimes p\right]=Vp-pV=\left[V,\,p\right]$ 、 $V=W*\lvert \varphi\rvert ^2$ 。 $\gamma^{(1)}=p$ なので右辺は $\left[h+V,\,\gamma^{(1)}\right]$ になる。

(3) 時刻 0 で積状態でも、 $W_{12}$ は2粒子をもつれさせるので、 $\psi_t$ は直ちに積状態でなくなる。そのずれ $\gamma^{(2)}-\gamma^{(1)}\otimes\gamma^{(1)}$ は $N=2$ では $\mathcal{O}(1)$ の大きさで育ち、Hartree 方程式からのずれも $\mathcal{O}(1)$ になる。 $N\to\infty$ で $\lambda_N=1/(N-1)$ のときは、1対あたりのもつれが $\mathcal{O}(1/N)$ に抑えられ、粒子1に関わる $N-1$ 対の寄与を合わせても、粒子1が凝縮から外れる確率は $\mathcal{O}(1/N)$ にとどまる。これを定量化するのが次節の定理である（BBGKY 第1式そのものは有限次元の数値微分で検算スクリプト）。

木下の勉強ステータス

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