近似の数理 第6章 §6.3 ★★ 「粒子が独立にふるまう」という平均場の仮定が、時間発展で保たれることの正確な言い換え
経験測度の収束は「粒子全体の分布」についての主張だった。平均場の直観にはもう一つの側面がある。それは「粒子1と粒子2の運動はほとんど独立である」という主張で、これを数学にしたものが Kac によるカオス の概念である。
定義 （Kac のカオス性）
各 N N N N N N ( R 2 d ) N (\mathbb{R}^{2d})^N ( R 2 d ) N F N F_N F N k k k F N F_N F N k k k k k k F N ( k ) F_N^{(k)} F N ( k ) N → ∞ N\to\infty N → ∞ f ⊗ k f^{\otimes k} f ⊗ k f f f k k k F N F_N F N f f f
名前の「カオス」は力学系のカオスとは無関係で、Boltzmann の「分子カオス」（衝突する2分子の速度は独立）に由来する。F N = f 0 ⊗ N F_N=f_0^{\otimes N} F N = f 0 ⊗ N f 0 f_0 f 0 カオスの伝播 という。これを示す最も見通しのよい方法は、Sznitman による次のカップリングである。
定理 6.7（カオスの伝播 ★★）
f 0 f_0 f 0 ∇ W \nabla W ∇ W L L L Z i ( 0 ) Z_i(0) Z i ( 0 ) f 0 f_0 f 0 Z i ( t ) Z_i(t) Z i ( t ) (6.2) の解、Z ˉ i ( t ) = Z t f ( Z i ( 0 ) ) \bar Z_i(t)=Z_t^{f}(Z_i(0)) Z ˉ i ( t ) = Z t f ( Z i ( 0 )) f t f_t f t Z ˉ 1 , … , Z ˉ N \bar Z_1,\dots,\bar Z_N Z ˉ 1 , … , Z ˉ N f t f_t f t T T T f 0 f_0 f 0 M T M_T M T 0 ≤ t ≤ T 0\le t\le T 0 ≤ t ≤ T
E ∣ Z 1 ( t ) − Z ˉ 1 ( t ) ∣ ≤ M T N ⋅ e ( 1 + 2 L ) t − 1 1 + 2 L . \mathbb E\lvert Z_1(t)-\bar Z_1(t)\rvert \le\frac{M_T}{\sqrt N}\cdot\frac{\mathrm{e}^{(1+2L)t}-1}{1+2L}. E ∣ Z 1 ( t ) − Z ˉ 1 ( t )∣ ≤ N M T ⋅ 1 + 2 L e ( 1 + 2 L ) t − 1 .
とくに k k k F N ( k ) ( t ) F_N^{(k)}(t) F N ( k ) ( t ) W 1 ( F N ( k ) ( t ) , f t ⊗ k ) ≤ k E ∣ Z 1 ( t ) − Z ˉ 1 ( t ) ∣ → 0 W_1(F_N^{(k)}(t),f_t^{\otimes k})\le k\,\mathbb E\lvert Z_1(t)-\bar Z_1(t)\rvert \to0 W 1 ( F N ( k ) ( t ) , f t ⊗ k ) ≤ k E ∣ Z 1 ( t ) − Z ˉ 1 ( t )∣ → 0
証明 F = − ∇ W F=-\nabla W F = − ∇ W
1 N ∑ j F ( X 1 − X j ) − ( F ∗ ρ t ) ( X ˉ 1 ) = 1 N ∑ j [ F ( X 1 − X j ) − F ( X ˉ 1 − X ˉ j ) ] ⏟ (a) + 1 N ∑ j F ( X ˉ 1 − X ˉ j ) − ( F ∗ ρ t ) ( X ˉ 1 ) ⏟ (b) \frac1N\sum_jF(X_1-X_j)-(F*\rho_t)(\bar X_1)
=\underbrace{\frac1N\sum_j\bigl[F(X_1-X_j)-F(\bar X_1-\bar X_j)\bigr]}_{\text{(a)}}
+\underbrace{\frac1N\sum_jF(\bar X_1-\bar X_j)-(F*\rho_t)(\bar X_1)}_{\text{(b)}} N 1 j ∑ F ( X 1 − X j ) − ( F ∗ ρ t ) ( X ˉ 1 ) = (a) N 1 j ∑ [ F ( X 1 − X j ) − F ( X ˉ 1 − X ˉ j ) ] + (b) N 1 j ∑ F ( X ˉ 1 − X ˉ j ) − ( F ∗ ρ t ) ( X ˉ 1 )
と分かれる。(a) はリプシッツ性から L ∣ X 1 − X ˉ 1 ∣ + L N ∑ j ∣ X j − X ˉ j ∣ L\lvert X_1-\bar X_1\rvert +\frac LN\sum_j\lvert X_j-\bar X_j\rvert L ∣ X 1 − X ˉ 1 ∣ + N L ∑ j ∣ X j − X ˉ j ∣ N N N X ˉ j \bar X_j X ˉ j j = 1 j=1 j = 1 F ( 0 ) = 0 F(0)=0 F ( 0 ) = 0 j ≠ 1 j\ne1 j = 1 Y j = F ( X ˉ 1 − X ˉ j ) − ( F ∗ ρ t ) ( X ˉ 1 ) Y_j=F(\bar X_1-\bar X_j)-(F*\rho_t)(\bar X_1) Y j = F ( X ˉ 1 − X ˉ j ) − ( F ∗ ρ t ) ( X ˉ 1 ) X ˉ 1 \bar X_1 X ˉ 1 X ˉ j \bar X_j X ˉ j ρ t \rho_t ρ t E ∣ 1 N ∑ j ≠ 1 Y j ∣ ≤ 1 N ( N − 1 ) E ∣ Y 2 ∣ 2 \mathbb E\lvert \frac1N\sum_{j\ne1}Y_j\rvert \le\frac1N\sqrt{(N-1)\mathbb E\lvert Y_2\rvert ^2} E ∣ N 1 ∑ j = 1 Y j ∣ ≤ N 1 ( N − 1 ) E ∣ Y 2 ∣ 2 − 1 N ( F ∗ ρ t ) ( X ˉ 1 ) -\frac1N(F*\rho_t)(\bar X_1) − N 1 ( F ∗ ρ t ) ( X ˉ 1 ) E ∣ (b) ∣ ≤ M T / N \mathbb E\lvert \text{(b)}\rvert \le M_T/\sqrt N E ∣ (b) ∣ ≤ M T / N ∣ F ( x ) ∣ ≤ L ∣ x ∣ \lvert F(x)\rvert \le L\lvert x\rvert ∣ F ( x )∣ ≤ L ∣ x ∣ M T < ∞ M_T<\infty M T < ∞ E ∣ Z j − Z ˉ j ∣ \mathbb E\lvert Z_j-\bar Z_j\rvert E ∣ Z j − Z ˉ j ∣ j j j Δ ( t ) \Delta(t) Δ ( t ) 6.4 の証明 (iii) と同じ計算をすると
Δ ( t ) ≤ ∫ 0 t [ ( 1 + 2 L ) Δ ( s ) + M T N ] d s \Delta(t)\le\int_0^t\Bigl[(1+2L)\Delta(s)+\frac{M_T}{\sqrt N}\Bigr]\mathrm{d} s Δ ( t ) ≤ ∫ 0 t [ ( 1 + 2 L ) Δ ( s ) + N M T ] d s
を得る（初期値は同じなので Δ ( 0 ) = 0 \Delta(0)=0 Δ ( 0 ) = 0 ( Z 1 , … , Z k ) (Z_1,\dots,Z_k) ( Z 1 , … , Z k ) ( Z ˉ 1 , … , Z ˉ k ) (\bar Z_1,\dots,\bar Z_k) ( Z ˉ 1 , … , Z ˉ k ) F N ( k ) F_N^{(k)} F N ( k ) f t ⊗ k f_t^{\otimes k} f t ⊗ k
カオスの伝播が言っていること
平均場近似は「多体の分布 ≈ f ⊗ f ⊗ ⋯ ⊗ f \approx f\otimes f\otimes\cdots\otimes f ≈ f ⊗ f ⊗ ⋯ ⊗ f 6.7 は、この仮定が初期時刻に成り立てば有限時間の間は保たれ続けることを主張する。ただし N N N 固定した少数の粒子 の分布が積に近づく。有限の N N N O ( 1 / N ) \mathcal{O}(1/N) O ( 1/ N ) N 2 N^2 N 2
直観が外れる場面
相互作用が特異な場合（重力・クーロン力のように ∇ W ∼ ∣ x ∣ − 2 \nabla W\sim\lvert x\rvert ^{-2} ∇ W ∼ ∣ x ∣ − 2
例題 6.3 独立性が力の揺らぎを消すこと ★★
オリジナル 定理 6.7 の証明の (b) 項を具体的に計算する。1次元で F ( x ) = − sin x F(x)=-\sin x F ( x ) = − sin x X ˉ 1 , … , X ˉ N \bar X_1,\dots,\bar X_N X ˉ 1 , … , X ˉ N [ 0 , 2 π ) [0,2\pi) [ 0 , 2 π )
(1) 一様分布 ρ \rho ρ ( F ∗ ρ ) ( x ) (F*\rho)(x) ( F ∗ ρ ) ( x ) (2) (b) = − 1 N ∑ j ≠ 1 sin ( X ˉ 1 − X ˉ j ) =-\frac1N\sum_{j\ne1}\sin(\bar X_1-\bar X_j) = − N 1 ∑ j = 1 sin ( X ˉ 1 − X ˉ j ) E ∣ (b) ∣ 2 = N − 1 2 N 2 \mathbb E\lvert \text{(b)}\rvert ^2=\frac{N-1}{2N^2} E ∣ (b) ∣ 2 = 2 N 2 N − 1 N = 100 N=100 N = 100 (3) 逆に、すべての j ≥ 2 j\ge2 j ≥ 2 X ˉ j = X ˉ 1 + c \bar X_j=\bar X_1+c X ˉ j = X ˉ 1 + c c c c sin c ≠ 0 \sin c\ne0 sin c = 0
解答 (1) ( F ∗ ρ ) ( x ) = − 1 2 π ∫ 0 2 π sin ( x − y ) d y (F*\rho)(x)=-\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin(x-y)\,\mathrm{d} y ( F ∗ ρ ) ( x ) = − 2 π 1 ∫ 0 2 π sin ( x − y ) d y sin ( x − y ) \sin(x-y) sin ( x − y ) y y y
(2) X ˉ 1 \bar X_1 X ˉ 1 Y j = − sin ( X ˉ 1 − X ˉ j ) Y_j=-\sin(\bar X_1-\bar X_j) Y j = − sin ( X ˉ 1 − X ˉ j ) j ≥ 2 j\ge2 j ≥ 2 X ˉ j \bar X_j X ˉ j 1 2 π ∫ sin 2 = 1 2 \frac1{2\pi}\int\sin^2=\frac12 2 π 1 ∫ sin 2 = 2 1 E [ Y j Y k ] = E [ Y j ] E [ Y k ] = 0 \mathbb E[Y_jY_k]=\mathbb E[Y_j]\mathbb E[Y_k]=0 E [ Y j Y k ] = E [ Y j ] E [ Y k ] = 0
E ∣ (b) ∣ 2 = 1 N 2 ∑ j ≠ 1 E Y j 2 = N − 1 2 N 2 . \mathbb E\lvert \text{(b)}\rvert ^2=\frac1{N^2}\sum_{j\ne1}\mathbb E Y_j^2=\frac{N-1}{2N^2}. E ∣ (b) ∣ 2 = N 2 1 j = 1 ∑ E Y j 2 = 2 N 2 N − 1 .
これは X ˉ 1 \bar X_1 X ˉ 1 N = 100 N=100 N = 100 99 / 20000 ≈ 0.0704 \sqrt{99/20000}\approx0.0704 99/20000 ≈ 0.0704 1 / 2 N 1/\sqrt{2N} 1/ 2 N
(3) 完全に相関していると Y j = − sin ( − c ) = sin c Y_j=-\sin(-c)=\sin c Y j = − sin ( − c ) = sin c j j j = N − 1 N sin c =\frac{N-1}N\sin c = N N − 1 sin c N → ∞ N\to\infty N → ∞ sin c \sin c sin c N − 1 / 2 N^{-1/2} N − 1/2 N − 1 / 2 N^{-1/2} N − 1/2
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
