非局所性と相対論化の難しさ

量子力学の様々な構成方法　第7部 第4章 §7.4.5　★★★ この構成の限界の中心：多粒子の速度場は遠くの粒子の位置に瞬時によるが、それで信号は送れない

もつれた2粒子の速度場

2粒子の速度場 $\bm{v}_1(\bm{r}_1,\bm{r}_2,t)=(\hbar/m_1)\operatorname{Im}(\nabla_1\Psi/\Psi)$ は、一般に粒子2の位置 $\bm{r}_2$ にもよる。軌道の式 $\dot{\bm{X}}_1=\bm{v}_1(\bm{X}_1,\bm{X}_2,t)$ では、粒子1の速度が同じ時刻の粒子2の位置で決まる。2つの粒子が遠く離れていても、粒子2をどう動かすかで粒子1の速度が瞬時に変わる。

例外は積状態 $\Psi=\phi(\bm{r}_1)\chi(\bm{r}_2)$ で、$\nabla_1\Psi/\Psi=\nabla\phi/\phi$ が $\bm{r}_2$ によらないので、粒子1は自分の波動関数だけで動く。したがって速度場の非局所性はもつれと同じ所にある。

もつれた2粒子の最も簡単な例を計算する。質量の等しい2粒子（$\hbar=m=1$）の1次元の波動関数を、相対座標 $u=(x_1-x_2)/\sqrt2$ と重心の座標 $w=(x_1+x_2)/\sqrt2$ のガウス分布の積

$$\Psi(x_1,x_2,0)\propto\exp\Bigl(-\frac{u^2}{4\sigma_u^2}-\frac{w^2}{4\sigma_w^2}\Bigr)$$

に取る。$\sigma_u\neq\sigma_w$ ならこれは $x_1$ と $x_2$ の積に分解できず、もつれている。運動エネルギー $-(\partial_1^2+\partial_2^2)/2=-(\partial_u^2+\partial_w^2)/2$ は $u$ と $w$ で分かれるので、各因子は第2節の自由波束として独立に発展し、速度場は $v_u=f_uu$、$v_w=f_ww$（$f_\ast=\dot\sigma_\ast/\sigma_\ast=t/(t_\ast^2+t^2)$、$t_\ast=2\sigma_\ast^2$）である。$x_1=(u+w)/\sqrt2$ に戻すと

$$v_1(x_1,x_2,t)=\frac{f_u+f_w}{2}\,x_1+\frac{f_w-f_u}{2}\,x_2\tag{7.4.15}$$

で、$\partial v_1/\partial x_2=(f_w-f_u)/2$ は $\sigma_u=\sigma_w$（積状態）のときに限って $0$ になる。

それでも信号は送れない

粒子2の側で何をしても、粒子1の位置の分布は変わらない。粒子1の位置の周辺分布 $\rho_1(x_1)=\int\lvert \Psi\rvert ^2\mathrm{d} x_2$ は、連続の式を $x_2$ で積分した $\partial_t\rho_1+\partial_{x_1}\int j_1\,\mathrm{d} x_2=0$ に従い、$\int j_1\mathrm{d} x_2=(\hbar/m)\operatorname{Im}\int\Psi^*\partial_1\Psi\,\mathrm{d} x_2$ は粒子1の縮約密度行列 $\hat\rho_1$ の行列要素 $\rho_1(x,x')=\int\Psi(x,x_2)\Psi^*(x',x_2)\mathrm{d} x_2$ を使って $(\hbar/m)\operatorname{Im}\,\partial_x\rho_1(x,x')|_{x'=x}$ と書ける。粒子2にかけるユニタリな操作 $\hat U_2$ は $\hat\rho_1$ を変えないので（第4部第2章の部分トレースの性質。第4部第2章）、$\rho_1$ の時間発展も変えない。個々の軌道は変わるが、集団の分布は変わらず、粒子1の側だけを見る観測者には何も伝わらない。検算では、もつれた格子上の波動関数に粒子2だけの操作（$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\kappa x_2^2}$ と、粒子2だけの自由発展）を入れ、$\int j_1\mathrm{d} x_2$ が変わらないことと、$X_2$ を固定した速度場 $v_1(x_1,X_2)$ は変わることの両方を確かめた。

信号が送れない理由を軌道の言葉で言えば、粒子2の位置 $X_2$ は粒子1の側の観測者にとって $\lvert \Psi\rvert ^2$ に従う乱数で、量子平衡の仮説のもとではそれ以上に知ることができないからである（第4節の絶対的な不確かさ）。非局所的な影響は、量子平衡の中では乱数に埋もれる。

Bell の不等式と、相対論にする難しさ

速度場の非局所性は Bohm の力学の欠点に見えるが、J. S. Bell は逆の結論を引き出した。Bell, Physics 1, 195 (1964) は、Bohm の理論の非局所性が偶然でないかを問い、局所的な隠れた変数の理論は量子力学の相関を再現できないこと（Bell の不等式）を示した（不等式の導出と破れの大きさは 相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第5章）。量子力学の予言を再現する以上、Bohm の力学が非局所的であることは避けられない。

非局所性の代償は相対論との相性である。案内方程式は「同じ時刻の」全粒子の位置を使うので、どの時刻を同時とみなすか（時空の葉層）を1つ選ばなければ式が書けない。Lorentz 変換で同時刻の面が傾くと、別の慣性系では別の軌道になる。予言される位置の分布は等変性で $\lvert \psi\rvert ^2$ に一致するので、葉層の選び方は観測にかからないが、理論の中には特別な葉層が残る。D. Dürr, S. Goldstein, T. Norsen, W. Struyve, N. Zanghì, Proc. R. Soc. A 470, 20130699 (2014) は、葉層を波動関数から決めることで、外から加える構造なしに Lorentz 不変な形に書けると論じた。粒子が生成・消滅する場の理論で「何に値を持たせるか」は、まだ決まった答えが無い。