測定と量子平衡：Born の規則はどこから出るか

量子力学の様々な構成方法　第7部 第4章 §7.4.4　★★★ 位置以外の観測量の測定を軌道で書き、Born の規則と射影の公理が要請 (B1)〜(B4) から出ることを示す

測定は位置の測定に帰着する

Bohm の力学で実際の値を持つのは配置だけで、運動量・スピン・エネルギーといったほかの観測量には、測定の前に決まった値が無い。それでも測定の結果は出る。測定装置の指針も粒子でできており、指針の位置が観測量の値を記録するからである。

測る系の座標を $x$、指針の座標を $y$ とし、観測量 $\hat A=\sum_aa\hat P_a$ を測る結合 $\hat H_{\mathrm{int}}=\lambda\hat A\otimes\hat p_y$ を時間 $T$ だけ入れる（von Neumann の測定の模型）。初めの状態が $\psi(x)\chi(y)$（$\chi$ は幅の狭い指針の波束）なら、結合のあとの全体の波動関数は

$$\Psi(x,y)=\sum_ac_a\,\phi_a(x)\,\chi(y-\lambda aT),\qquad c_a\phi_a=\hat P_a\psi\tag{7.4.11}$$

になる。$a$ の値ごとに指針の波束が $\lambda aT$ だけずれ、ずれの差が指針の幅より大きければ、$y$ の方向で互いに重ならない枝に分かれる。

全体の配置 $(X,Y)$ は等変性によって $\lvert \Psi\rvert ^2$ に従って散らばっているので、指針の位置 $Y$ が枝 $a$ の台に入る確率は

$$\Pr(a)=\int\mathrm{d} x\int_{\text{枝 }a}\mathrm{d} y\,\lvert \Psi(x,y)\rvert ^2=\lvert c_a\rvert ^2\lVert \phi_a\rVert ^2=\langle \psi | \hat P_a\psi \rangle\tag{7.4.12}$$

である（枝が重ならないので交差項が消える）。これが第1部第2章の Q3（Born の規則）で、Bohm の力学ではそれが要請でなく、(B4) と等変性から導かれる。

実質的な収縮

測定のあと、指針の位置 $Y$ はどれか1つの枝の台の中にある。それを $a_*$ とすると、ほかの枝 $a\neq a_*$ の波は $Y$ の所で $0$ なので、系の粒子の速度 $\bm{v}_x=(\hbar/m)\operatorname{Im}(\nabla_x\Psi/\Psi)|_{(X,Y)}$ には、$Y$ を含む枝だけが寄与する。したがって測定のあとの系の運動は、波動関数を

$$\psi_{\mathrm{cond}}(x)\coloneqq\Psi(x,Y)\propto\phi_{a_*}(x)\tag{7.4.13}$$

に置き換えたときの運動と同じになる。$\psi_{\mathrm{cond}}$ を条件付き波動関数と呼ぶ。Q4（射影の公理）の $\psi\mapsto\hat P_{a_*}\psi$ は、波動関数を変える新しい法則でなく、「実際の指針の位置で切った断面」の言い換えとして出てくる。ほかの枝は消えずに残っているが（空の波）、配置空間で $Y$ から遠く離れたままである限り、軌道に影響しない。枝どうしが再び重なると干渉が戻るが、マクロな指針では環境の多数の自由度が枝を区別し続けるので、重なりは実際上起きない（第4部の言葉ではデコヒーレンス）。この観点は D. Dürr, S. Goldstein, N. Zanghì, J. Stat. Phys. 67, 843 (1992) が体系化し、そこでは系の配置について $\lvert \psi_{\mathrm{cond}}\rvert ^2$ より細かい知識は原理的に得られないこと（彼らの言う絶対的な不確かさ）も示された。

スピンの測定と文脈依存性

スピン $\tfrac12$ の粒子では、波動関数は2成分 $\psi_s(\bm{r})$（$s=\uparrow,\downarrow$）を持ち、案内方程式の速度は成分の和を取った

$$\bm{v}=\frac{\hbar}{m}\,\frac{\operatorname{Im}\sum_s\psi_s^*\nabla\psi_s}{\sum_s\lvert \psi_s\rvert ^2}\tag{7.4.14}$$

である。スピンには実際の値が無く、位置だけが値を持つ。Stern–Gerlach の装置は、上向きの成分を上へ、下向きの成分を下へ蹴る磁場の勾配で、スピンの測定を「粒子が上と下のどちらへ出たか」という位置の測定に変える。

1次元（$z$ 方向）に話を限る。状態 $\cos(\theta/2)| \uparrow \rangle +\sin(\theta/2)| \downarrow \rangle$、位置の部分が $z=0$ に中心を持つ対称なガウス分布だとする。勾配で2つの成分が上と下へ分かれて進むと、軌道は交わらないので、粒子の上下の順番は保たれる。等変性から上へ出る粒子の割合は $\cos^2(\theta/2)$ なので、上へ出るのは初めの位置が境目 $z_*$ より上にあった粒子で、$z_*$ は $\int_{z_*}^\infty\lvert \psi(z,0)\rvert ^2\mathrm{d} z=\cos^2(\theta/2)$ で決まる。勾配の向きを逆にした装置では、上へ出る（記録は ${\downarrow}$）粒子の割合が $\sin^2(\theta/2)$ に変わり、境目も変わる。同じ初めの位置の粒子が、装置の向きによって「${\uparrow}$」とも「${\downarrow}$」とも記録される。