量子力学の様々な構成方法 第9部 第3章 §9.3.1 ★★★ この章の出発点の要請。測定値が前もって決まっているという仮定を、交換する物理量の関数関係を保つ割り当てとして式にする
前の 第9部第2章 では、命題の束 L ( H ) \mathcal L(\mathcal{H}) L ( H ) Tr ( ρ ^ P ^ ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P) Tr ( ρ ^ P ^ ) 0 0 0 1 1 1
この章が置く出発点は、隠れた変数の理論が量子の確率をどう再現しようとするかという問いである。隠れた変数の理論では、系の状態を完全に指定する変数 λ \lambda λ λ \lambda λ λ \lambda λ q ( λ ) q(\lambda) q ( λ ) v λ v_\lambda v λ
第9部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は「基準との同値」の続きとして、射影の束の上の確率が古典の確率（分散のない状態の混合）に戻せないことを受け持つ。9.3.1節で値の割り当てと非文脈性を定義し、9.3.2 節で2次元なら非文脈的な模型が作れることを確かめる。9.3.3 節で Peres–Mermin の正方形による4次元の証明、9.3.4 節で射線の着色の言葉による証明（4次元の18本と3次元の33本）を与える。9.3.5 節は、特定の状態でだけ現れる文脈依存性を3次元で測る KCBS 不等式である。9.3.6 節が橋の節で、局所性が非文脈性の特別な場合であることを両向きに証明し、Bell の不等式・Gleason の定理・Bohm の理論と並べて、共通例題②を解く。
値の割り当て
有限次元のヒルベルト空間 H \mathcal{H} H dim H = d \dim\mathcal{H}=d dim H = d
定義 9.3.1（値の割り当て）
物理量 A ^ \hat A A ^ v ( A ^ ) v(\hat A) v ( A ^ ) v v v v v v 値の割り当て と呼ぶ。
(V1) v ( A ^ ) v(\hat A) v ( A ^ ) A ^ \hat A A ^ (V2) 実関数 f f f v ( f ( A ^ ) ) = f ( v ( A ^ ) ) v(f(\hat A))=f(v(\hat A)) v ( f ( A ^ )) = f ( v ( A ^ ))
隠れた変数の理論とは、状態 λ \lambda λ v λ v_\lambda v λ ρ ^ \hat\rho ρ ^ λ \lambda λ q ρ ( λ ) q_\rho(\lambda) q ρ ( λ ) A ^ \hat A A ^ a a a
Pr ( A ^ の測定値が a ) = ∫ q ρ ( λ ) δ a , v λ ( A ^ ) d λ = Tr ( ρ ^ P ^ a ) (9.3.1) \Pr(\hat A\text{ の測定値が }a)=\int q_\rho(\lambda)\,\delta_{a,\,v_\lambda(\hat A)}\,\mathrm{d}\lambda=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_a)\tag{9.3.1} Pr ( A ^ の測定値が a ) = ∫ q ρ ( λ ) δ a , v λ ( A ^ ) d λ = Tr ( ρ ^ P ^ a ) ( 9.3.1 )
を満たすものをいう（P ^ a \hat P_a P ^ a a a a
(V2) の意味を確かめておく。A ^ \hat A A ^ a a a f ( A ^ ) f(\hat A) f ( A ^ ) f ( a ) f(a) f ( a ) A ^ 2 \hat A^2 A ^ 2 A ^ \hat A A ^ f f f f ( A ^ ) f(\hat A) f ( A ^ ) A ^ = ∑ a a P ^ a \hat A=\sum_aa\hat P_a A ^ = ∑ a a P ^ a f ( A ^ ) = ∑ a f ( a ) P ^ a f(\hat A)=\sum_af(a)\hat P_a f ( A ^ ) = ∑ a f ( a ) P ^ a { P ^ a } \{\hat P_a\} { P ^ a }
和の規則と積の規則
(V2) は1つの物理量の関数についての条件にすぎないが、交換する物理量の組にまで広がる。
補題 9.3.2（和と積の規則 ★★★）
v v v A ^ \hat A A ^ B ^ \hat B B ^ [ A ^ , B ^ ] = 0 [\hat A,\hat B]=0 [ A ^ , B ^ ] = 0
v ( A ^ + B ^ ) = v ( A ^ ) + v ( B ^ ) , v ( A ^ B ^ ) = v ( A ^ ) v ( B ^ ) . (9.3.2) v(\hat A+\hat B)=v(\hat A)+v(\hat B),\qquad v(\hat A\hat B)=v(\hat A)\,v(\hat B).\tag{9.3.2} v ( A ^ + B ^ ) = v ( A ^ ) + v ( B ^ ) , v ( A ^ B ^ ) = v ( A ^ ) v ( B ^ ) . ( 9.3.2 )
とくに { P ^ i } \{\hat P_i\} { P ^ i } 1 ^ \hat 1 1 ^ v ( P ^ i ) ∈ { 0 , 1 } v(\hat P_i)\in\{0,1\} v ( P ^ i ) ∈ { 0 , 1 } ∑ i v ( P ^ i ) = 1 \sum_iv(\hat P_i)=1 ∑ i v ( P ^ i ) = 1
証明 交換するエルミート行列は同時対角化できるので、共通の正規直交固有基底 { ∣ k ⟩ } \{| k \rangle \} { ∣ k ⟩} A ^ = ∑ k a k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ \hat A=\sum_ka_k| k \rangle \langle k | A ^ = ∑ k a k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ B ^ = ∑ k b k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ \hat B=\sum_kb_k| k \rangle \langle k | B ^ = ∑ k b k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ c 1 , … , c d c_1,\dots,c_d c 1 , … , c d C ^ = ∑ k c k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ \hat C=\sum_kc_k| k \rangle \langle k | C ^ = ∑ k c k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ f ( c k ) = a k f(c_k)=a_k f ( c k ) = a k g ( c k ) = b k g(c_k)=b_k g ( c k ) = b k f , g f,g f , g A ^ = f ( C ^ ) \hat A=f(\hat C) A ^ = f ( C ^ ) B ^ = g ( C ^ ) \hat B=g(\hat C) B ^ = g ( C ^ ) A ^ + B ^ = ( f + g ) ( C ^ ) \hat A+\hat B=(f+g)(\hat C) A ^ + B ^ = ( f + g ) ( C ^ ) A ^ B ^ = ( f g ) ( C ^ ) \hat A\hat B=(fg)(\hat C) A ^ B ^ = ( f g ) ( C ^ ) C ^ \hat C C ^
v ( A ^ + B ^ ) = ( f + g ) ( v ( C ^ ) ) = f ( v ( C ^ ) ) + g ( v ( C ^ ) ) = v ( f ( C ^ ) ) + v ( g ( C ^ ) ) = v ( A ^ ) + v ( B ^ ) v(\hat A+\hat B)=(f+g)\bigl(v(\hat C)\bigr)=f\bigl(v(\hat C)\bigr)+g\bigl(v(\hat C)\bigr)=v(f(\hat C))+v(g(\hat C))=v(\hat A)+v(\hat B) v ( A ^ + B ^ ) = ( f + g ) ( v ( C ^ ) ) = f ( v ( C ^ ) ) + g ( v ( C ^ ) ) = v ( f ( C ^ )) + v ( g ( C ^ )) = v ( A ^ ) + v ( B ^ )
で和の規則が出る。積の規則も f g fg f g
射影 P ^ \hat P P ^ 0 0 0 1 1 1 v ( P ^ ) ∈ { 0 , 1 } v(\hat P)\in\{0,1\} v ( P ^ ) ∈ { 0 , 1 } ∑ i v ( P ^ i ) = v ( 1 ^ ) \sum_iv(\hat P_i)=v(\hat 1) ∑ i v ( P ^ i ) = v ( 1 ^ ) 1 ^ \hat 1 1 ^ 1 1 1 v ( 1 ^ ) = 1 v(\hat 1)=1 v ( 1 ^ ) = 1
補題 9.3.2 の最後の主張を1次元の射影（射線）に限ると、値の割り当ては射線の上の 0 0 0 1 1 1
定義 9.3.3（KS 着色）
H \mathcal{H} H S \mathcal S S c : S → { 0 , 1 } c:\mathcal S\to\{0,1\} c : S → { 0 , 1 } S \mathcal S S 1 1 1 c c c S \mathcal S S KS 着色 と呼ぶ。直交する2本が両方 1 1 1 S \mathcal S S 1 1 1
値の割り当て v v v c ( ∣ x ⟩ ) = v ( ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ) c(| x \rangle )=v(| x \rangle \langle x |) c ( ∣ x ⟩) = v ( ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ) c c c A ^ = ∑ i a i ∣ e i ⟩ ⟨ e i ∣ \hat A=\sum_ia_i| e_i \rangle \langle e_i | A ^ = ∑ i a i ∣ e i ⟩ ⟨ e i ∣ c ( e i ) = 1 c(e_i)=1 c ( e i ) = 1 i i i a i a_i a i v ( A ^ ) v(\hat A) v ( A ^ ) 1 1 1
非文脈性という仮定
1本の射線 ∣ x ⟩ | x \rangle ∣ x ⟩ dim H ≥ 3 \dim\mathcal{H}\ge3 dim H ≥ 3 c ( x ) c(x) c ( x ) ∣ x ⟩ | x \rangle ∣ x ⟩ P ^ x = ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ \hat P_x=| x \rangle \langle x | P ^ x = ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ 文脈 と呼ぶ）によらず、P ^ x \hat P_x P ^ x 非文脈性 と呼ぶ。第9部第2章の frame function も同じ仮定を確率の水準で置いていた。この章では確率でなく個々の値の水準で同じ仮定を置き、その帰結を調べる。
非文脈性は、交換する物理量どうしにしか要求しない点が要である。交換しない物理量にまで和の規則を要求するのは物理的に根拠がない。次の例題がその理由を示す。
例題 9.3.1 交換しない物理量に和の規則を課すと何が起きるか ★★
オリジナル 量子ビットで A ^ = σ x \hat A=\sigma_x A ^ = σ x B ^ = σ z \hat B=\sigma_z B ^ = σ z
(1) A ^ + B ^ \hat A+\hat B A ^ + B ^ (2) 値の割り当て v v v A ^ , B ^ \hat A,\hat B A ^ , B ^ v ( A ^ + B ^ ) = v ( A ^ ) + v ( B ^ ) v(\hat A+\hat B)=v(\hat A)+v(\hat B) v ( A ^ + B ^ ) = v ( A ^ ) + v ( B ^ ) (3) 一方、どの状態でも期待値は ⟨ A ^ + B ^ ⟩ = ⟨ A ^ ⟩ + ⟨ B ^ ⟩ \langle \hat A+\hat B \rangle =\langle \hat A \rangle +\langle \hat B \rangle ⟨ A ^ + B ^ ⟩ = ⟨ A ^ ⟩ + ⟨ B ^ ⟩
解答 (1) ( σ x + σ z ) 2 = σ x 2 + σ z 2 + { σ x , σ z } + = 2 ⋅ 1 ^ (\sigma_x+\sigma_z)^2=\sigma_x^2+\sigma_z^2+\{\sigma_x,\sigma_z\}_+=2\cdot\hat 1 ( σ x + σ z ) 2 = σ x 2 + σ z 2 + { σ x , σ z } + = 2 ⋅ 1 ^ 0 0 0 ± 2 \pm\sqrt2 ± 2
(2) (V1) から v ( σ x ) , v ( σ z ) ∈ { + 1 , − 1 } v(\sigma_x),v(\sigma_z)\in\{+1,-1\} v ( σ x ) , v ( σ z ) ∈ { + 1 , − 1 } v ( σ x ) + v ( σ z ) v(\sigma_x)+v(\sigma_z) v ( σ x ) + v ( σ z ) − 2 , 0 , + 2 -2,0,+2 − 2 , 0 , + 2 v ( σ x + σ z ) ∈ { ± 2 } v(\sigma_x+\sigma_z)\in\{\pm\sqrt2\} v ( σ x + σ z ) ∈ { ± 2 }
(3) 期待値の加法性は Tr ( ρ ^ ( A ^ + B ^ ) ) = Tr ( ρ ^ A ^ ) + Tr ( ρ ^ B ^ ) \operatorname{Tr}(\hat\rho(\hat A+\hat B))=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)+\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat B) Tr ( ρ ^ ( A ^ + B ^ )) = Tr ( ρ ^ A ^ ) + Tr ( ρ ^ B ^ ) A ^ \hat A A ^ B ^ \hat B B ^ A ^ + B ^ \hat A+\hat B A ^ + B ^ v v v
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