量子力学の様々な構成方法 第9部 第3章 §9.3.5 ★★ 最小の次元3で、5つの射影だけを使い、特定の状態で非文脈的な上限を破る不等式を作る
5本の射線と五角形
状態によらない証明は、3次元では十数本以上の射線を必要とする。射線を減らす代わりに状態を選ぶと、3次元・5本で文脈依存性が測れる（A. A. Klyachko, M. A. Can, S. Binicioğlu and A. S. Shumovsky (2008), Physical Review Letters 101, 020403。頭文字から KCBS と呼ぶ）。
R 3 \mathbb{R}^3 R 3
v j = ( cos θ , sin θ cos 4 π j 5 , sin θ sin 4 π j 5 ) ( j = 0 , … , 4 ) , cos 2 θ = cos ( π / 5 ) 1 + cos ( π / 5 ) = 1 5 (9.3.10) \bm{v}_j=\Bigl(\cos\theta,\ \sin\theta\cos\frac{4\pi j}{5},\ \sin\theta\sin\frac{4\pi j}{5}\Bigr)\quad(j=0,\dots,4),\qquad \cos^2\theta=\frac{\cos(\pi/5)}{1+\cos(\pi/5)}=\frac{1}{\sqrt5}\tag{9.3.10} v j = ( cos θ , sin θ cos 5 4 π j , sin θ sin 5 4 π j ) ( j = 0 , … , 4 ) , cos 2 θ = 1 + cos ( π /5 ) cos ( π /5 ) = 5 1 ( 9.3.10 )
をとる。隣り合う v j \bm{v}_j v j v j + 1 \bm{v}_{j+1} v j + 1 j j j 4 π / 5 4\pi/5 4 π /5 cos 2 θ + sin 2 θ cos 4 π 5 \cos^2\theta+\sin^2\theta\cos\frac{4\pi}{5} cos 2 θ + sin 2 θ cos 5 4 π cos 4 π 5 = − cos π 5 \cos\frac{4\pi}{5}=-\cos\frac\pi5 cos 5 4 π = − cos 5 π sin 2 θ = 1 − cos 2 θ \sin^2\theta=1-\cos^2\theta sin 2 θ = 1 − cos 2 θ cos 2 θ \cos^2\theta cos 2 θ 0 0 0 P ^ j = ∣ v j ⟩ ⟨ v j ∣ \hat P_j=| v_j \rangle \langle v_j | P ^ j = ∣ v j ⟩ ⟨ v j ∣ P ^ j \hat P_j P ^ j P ^ j + 1 \hat P_{j+1} P ^ j + 1 { P ^ j , P ^ j + 1 } \{\hat P_j,\hat P_{j+1}\} { P ^ j , P ^ j + 1 } 9.3.3 ）。
図 9.3.3 KCBS の5つの射影の直交関係。v j \bm{v}_j v j 4 π j / 5 4\pi j/5 4 π j /5 1 1 1
非文脈的な上限と量子の値
非文脈的な割り当てでは、v ( P ^ j ) ∈ { 0 , 1 } v(\hat P_j)\in\{0,1\} v ( P ^ j ) ∈ { 0 , 1 } P ^ j , P ^ j + 1 \hat P_j,\hat P_{j+1} P ^ j , P ^ j + 1 1 1 1 9.3.3 ）。5つの頂点が閉路をなすとき、隣り合わないように 1 1 1 λ \lambda λ ∑ j v λ ( P ^ j ) ≤ 2 \sum_jv_\lambda(\hat P_j)\le2 ∑ j v λ ( P ^ j ) ≤ 2
∑ j = 0 4 Pr ( P ^ j = 1 ) ≤ 2 ( 非文脈的な隠れた変数 ) (9.3.11) \sum_{j=0}^{4}\Pr(\hat P_j=1)\le2\qquad(\text{非文脈的な隠れた変数})\tag{9.3.11} j = 0 ∑ 4 Pr ( P ^ j = 1 ) ≤ 2 ( 非文脈的な隠れた変数 ) ( 9.3.11 )
となる。ここで Pr ( P ^ j = 1 ) \Pr(\hat P_j=1) Pr ( P ^ j = 1 ) P ^ j \hat P_j P ^ j P ^ j − 1 \hat P_{j-1} P ^ j − 1 P ^ j + 1 \hat P_{j+1} P ^ j + 1
量子力学では ∑ j Pr ( P ^ j = 1 ) = ⟨ ψ ∣ S ^ ∣ ψ ⟩ \sum_j\Pr(\hat P_j=1)=\langle \psi | \hat S | \psi \rangle ∑ j Pr ( P ^ j = 1 ) = ⟨ ψ ∣ S ^ ∣ ψ ⟩ S ^ = ∑ j P ^ j \hat S=\sum_j\hat P_j S ^ = ∑ j P ^ j S ^ \hat S S ^ ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) 5 cos 2 θ = 5 5\cos^2\theta=\sqrt5 5 cos 2 θ = 5 5 2 sin 2 θ = 5 − 5 2 ≈ 1.382 \frac52\sin^2\theta=\frac{5-\sqrt5}{2}\approx1.382 2 5 sin 2 θ = 2 5 − 5 ≈ 1.382 5 + ( 5 − 5 ) = 5 \sqrt5+(5-\sqrt5)=5 5 + ( 5 − 5 ) = 5
max ψ ∑ j Pr ( P ^ j = 1 ) = 5 ≈ 2.236 > 2 (9.3.12) \max_\psi\sum_j\Pr(\hat P_j=1)=\sqrt5\approx2.236>2\tag{9.3.12} ψ max j ∑ Pr ( P ^ j = 1 ) = 5 ≈ 2.236 > 2 ( 9.3.12 )
で、状態 ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) 5 \sqrt5 5 5 \sqrt5 5
A ^ j = 2 P ^ j − 1 ^ \hat A_j=2\hat P_j-\hat 1 A ^ j = 2 P ^ j − 1 ^ ± 1 \pm1 ± 1 P ^ j P ^ j + 1 = 0 \hat P_j\hat P_{j+1}=0 P ^ j P ^ j + 1 = 0 A ^ j A ^ j + 1 = 1 ^ − 2 P ^ j − 2 P ^ j + 1 \hat A_j\hat A_{j+1}=\hat 1-2\hat P_j-2\hat P_{j+1} A ^ j A ^ j + 1 = 1 ^ − 2 P ^ j − 2 P ^ j + 1 ∑ j ⟨ A ^ j A ^ j + 1 ⟩ = 5 − 4 ∑ j Pr ( P ^ j = 1 ) \sum_j\langle \hat A_j\hat A_{j+1} \rangle =5-4\sum_j\Pr(\hat P_j=1) ∑ j ⟨ A ^ j A ^ j + 1 ⟩ = 5 − 4 ∑ j Pr ( P ^ j = 1 ) (9.3.11) は ∑ j ⟨ A ^ j A ^ j + 1 ⟩ ≥ − 3 \sum_j\langle \hat A_j\hat A_{j+1} \rangle \ge-3 ∑ j ⟨ A ^ j A ^ j + 1 ⟩ ≥ − 3 5 − 4 5 ≈ − 3.944 5-4\sqrt5\approx-3.944 5 − 4 5 ≈ − 3.944
この不等式は、Peres–Mermin と違って状態に依る。S ^ \hat S S ^ 1.382 1.382 1.382 2 2 2
例題 9.3.5 KCBS の値を状態の向きで調べる ★★
オリジナル 状態を ∣ ψ ⟩ = ( cos α , sin α , 0 ) | \psi \rangle =(\cos\alpha,\sin\alpha,0) ∣ ψ ⟩ = ( cos α , sin α , 0 )
(1) ∑ j Pr ( P ^ j = 1 ) \sum_j\Pr(\hat P_j=1) ∑ j Pr ( P ^ j = 1 ) α \alpha α (2) α = 1 2 \alpha=\frac12 α = 2 1 (9.3.11) を破るか判定せよ。(3) 破れが起きる α \alpha α
解答 (1) ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ S ^ \hat S S ^ ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) 5 \sqrt5 5 ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) ( 0 , 1 , 0 ) 5 − 5 2 \frac{5-\sqrt5}{2} 2 5 − 5
∑ j Pr ( P ^ j = 1 ) = ⟨ ψ ∣ S ^ ∣ ψ ⟩ = 5 cos 2 α + 5 − 5 2 sin 2 α . \sum_j\Pr(\hat P_j=1)=\langle \psi | \hat S | \psi \rangle =\sqrt5\cos^2\alpha+\frac{5-\sqrt5}{2}\sin^2\alpha . j ∑ Pr ( P ^ j = 1 ) = ⟨ ψ ∣ S ^ ∣ ψ ⟩ = 5 cos 2 α + 2 5 − 5 sin 2 α .
(2) cos 2 1 2 ≈ 0.7702 \cos^2\frac12\approx0.7702 cos 2 2 1 ≈ 0.7702 sin 2 1 2 ≈ 0.2298 \sin^2\frac12\approx0.2298 sin 2 2 1 ≈ 0.2298 2.2361 × 0.7702 + 1.3820 × 0.2298 ≈ 1.7221 + 0.3176 ≈ 2.040 2.2361\times0.7702+1.3820\times0.2298\approx1.7221+0.3176\approx2.040 2.2361 × 0.7702 + 1.3820 × 0.2298 ≈ 1.7221 + 0.3176 ≈ 2.040 2 2 2
(3) 5 cos 2 α + 5 − 5 2 sin 2 α > 2 \sqrt5\cos^2\alpha+\frac{5-\sqrt5}{2}\sin^2\alpha>2 5 cos 2 α + 2 5 − 5 sin 2 α > 2 cos 2 α + sin 2 α = 1 \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 cos 2 α + sin 2 α = 1
tan 2 α < 5 − 2 2 − 5 − 5 2 = 2 ( 5 − 2 ) 5 − 1 = 3 − 5 2 = ( 5 − 1 2 ) 2 . \tan^2\alpha<\frac{\sqrt5-2}{2-\frac{5-\sqrt5}{2}}=\frac{2(\sqrt5-2)}{\sqrt5-1}=\frac{3-\sqrt5}{2}=\Bigl(\frac{\sqrt5-1}{2}\Bigr)^2 . tan 2 α < 2 − 2 5 − 5 5 − 2 = 5 − 1 2 ( 5 − 2 ) = 2 3 − 5 = ( 2 5 − 1 ) 2 .
よって ∣ tan α ∣ < 5 − 1 2 ≈ 0.618 \lvert \tan\alpha\rvert <\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618 ∣ tan α ∣ < 2 5 − 1 ≈ 0.618 ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) 31.7 ∘ 31.7^\circ 31. 7 ∘
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
