Peres–Mermin の正方形

量子力学の様々な構成方法　第9部 第3章 §9.3.3　★★★ 2量子ビットの9個の物理量だけで、どの状態でも非文脈的な割り当てが不可能なことを示す、最も短い証明

9個の物理量

4次元の空間 $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ で、Pauli 行列から作った次の9個の物理量を $3\times3$ に並べる（A. Peres (1990), Physics Letters A 151, 107–108；N. D. Mermin (1990), Physical Review Letters 65, 3373–3376）。

$$\begin{array}{ccc} \sigma_x\otimes\hat 1 & \hat 1\otimes\sigma_x & \sigma_x\otimes\sigma_x\\ \hat 1\otimes\sigma_y & \sigma_y\otimes\hat 1 & \sigma_y\otimes\sigma_y\\ \sigma_x\otimes\sigma_y & \sigma_y\otimes\sigma_x & \sigma_z\otimes\sigma_z \end{array}\tag{9.3.5}$$

各物理量は2乗が $\hat 1$ なので、固有値は $\pm1$ である。この並びには次の3つの性質がある。

第一に、同じ行の3つ、同じ列の3つは互いに交換する。異なる量子ビットに作用する因子は自動的に交換し、同じ量子ビットに作用する Pauli 行列どうしは反交換するが、それが2か所で起きると符号が打ち消し合うからである。例えば第3行の $\sigma_x\otimes\sigma_y$ と $\sigma_y\otimes\sigma_x$ は、1番目の量子ビットで $\sigma_x\sigma_y=-\sigma_y\sigma_x$、2番目で $\sigma_y\sigma_x=-\sigma_x\sigma_y$ と2回符号が変わるので交換する。したがって各行・各列は1つの文脈（同時に測れる組）になる。

第二に、各行の3つの積は $+\hat 1$ である。第1行は $(\sigma_x\otimes\hat 1)(\hat 1\otimes\sigma_x)(\sigma_x\otimes\sigma_x)=\sigma_x^2\otimes\sigma_x^2=\hat 1$。第2行も同じ形。第3行は、$\sigma_x\sigma_y=\mathrm{i}\sigma_z$、$\sigma_y\sigma_x=-\mathrm{i}\sigma_z$ を使って

$$(\sigma_x\otimes\sigma_y)(\sigma_y\otimes\sigma_x)=(\sigma_x\sigma_y)\otimes(\sigma_y\sigma_x)=(\mathrm{i}\sigma_z)\otimes(-\mathrm{i}\sigma_z)=\sigma_z\otimes\sigma_z$$

で、これに $\sigma_z\otimes\sigma_z$ を掛けて $\hat 1$ になる。

第三に、列の積は第1列・第2列が $+\hat 1$、第3列だけが $-\hat 1$ である。第1列は $(\sigma_x\otimes\hat 1)(\hat 1\otimes\sigma_y)(\sigma_x\otimes\sigma_y)=\sigma_x^2\otimes\sigma_y^2=\hat 1$、第2列も同様。第3列は

$$(\sigma_x\otimes\sigma_x)(\sigma_y\otimes\sigma_y)(\sigma_z\otimes\sigma_z)=(\sigma_x\sigma_y\sigma_z)\otimes(\sigma_x\sigma_y\sigma_z)=(\mathrm{i}\hat 1)\otimes(\mathrm{i}\hat 1)=-\hat 1\tag{9.3.6}$$

である（$\sigma_x\sigma_y\sigma_z=\mathrm{i}\sigma_z\sigma_z=\mathrm{i}\hat 1$）。

矛盾

証明

値の割り当て $v$ があったとし、9個の値を $v_{ij}\in\{\pm1\}$（$i$ 行 $j$ 列）と書く。各行は交換する3つなので積の規則から $v_{i1}v_{i2}v_{i3}=v(\text{行の積})=v(\hat 1)=+1$。3行を掛けると $\prod_{i,j}v_{ij}=+1$。各列も交換する3つなので、$v_{1j}v_{2j}v_{3j}=+1,+1,-1$（第3列は (9.3.6) から $v(-\hat 1)=-1$）。3列を掛けると $\prod_{i,j}v_{ij}=-1$。同じ9個の積が $+1$ と $-1$ になるので矛盾する。

この証明は状態をまったく使っていない。どの状態でも、測る前から9個の値が非文脈的に決まっていることはありえない。このような証明を状態によらない証明と呼ぶ。非文脈性が入っている場所は、各物理量が2つの文脈（1つの行と1つの列）に属するのに、同じ値 $v_{ij}$ を両方で使った所である。たとえば $\sigma_x\otimes\sigma_x$ は第1行の文脈 $\{\sigma_x\otimes\hat 1,\hat 1\otimes\sigma_x\}$ と、第3列の文脈 $\{\sigma_y\otimes\sigma_y,\sigma_z\otimes\sigma_z\}$ の両方で測ることができる。

測れる形の不等式

実験で積の規則を確かめるには、各行・各列の3つを同時に測り、測定値の積の平均をとればよい。行の積の平均を $\langle R_i \rangle$、列の積の平均を $\langle C_j \rangle$ と書き、

$$\chi=\langle R_1 \rangle +\langle R_2 \rangle +\langle R_3 \rangle +\langle C_1 \rangle +\langle C_2 \rangle -\langle C_3 \rangle\tag{9.3.7}$$

を考える（A. Cabello (2008), Physical Review Letters 101, 210401）。非文脈的な模型では、$\lambda$ ごとに9個の値 $v_{ij}$ が決まり、6つの項 $R_1,R_2,R_3,C_1,C_2,-C_3$ はそれぞれ $\pm1$ である。6つの項の積は $\prod_{ij}v_{ij}^2\cdot(-1)=-1$ なので、6つが全部 $+1$ にはなれず、少なくとも1つは $-1$ になる。よって $\lambda$ ごとに値は $4$ 以下で、混合をとっても

$$\chi\le4\qquad(\text{非文脈的な隠れた変数})\tag{9.3.8}$$

が成り立つ。量子力学では各行・各列の積が演算子として $\pm\hat 1$ なので、どの状態でも $\chi=6$ である。$2^9$ 通りの割り当てをすべて調べると最大はちょうど $4$ になることを、verify_ch9-03.py で確かめた。