出発点：束の上の状態と frame function

量子力学の様々な構成方法　第9部 第2章 §9.2.1　★★★ 束の上の状態を、単位ベクトルの上の関数で「どの正規直交基底でも和が一定」という条件に言い直す。Gleason の定理が答える問いの形

前の 第9部第1章 では、命題（yes–no の問い）の全体を閉部分空間の束 $\mathcal L(\mathcal{H})$ として組み、状態を「互いに直交する命題について加法的な、$\mathcal L(\mathcal{H})$ の上の確率の割り当て $\mu$」と定義した。密度行列 $\hat\rho$ から作る $\mu(\hat P)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P)$ がその一例であることも確かめた。この章は逆向きを扱う。束の上の状態は、ほかにどんな形がありうるか。答えは Gleason の定理で与えられる（A. M. Gleason (1957), Journal of Mathematics and Mechanics 6, 885–893）。ヒルベルト空間の次元が3以上なら、束の上の状態はすべて $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P)$ の形をしている。第9部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は「基準との同値」の前半、すなわち命題の確率から密度行列と Born の規則を導く部分を受け持つ。

この結果の意味を先に書いておく。第1部の基準（第1部第2章）は、確率を与える Born の規則 $\lvert \langle a | \psi \rangle \rvert ^2$ を公理 Q3 として置いた。第4部（第4部第1章）は状態を密度行列と決めた。Gleason の定理のもとでは、どちらも公理として置く必要がない。命題が閉部分空間で表されること（第9部第1章の出発点）と、「同時に測れる直交する命題の確率は足し算になる」という要請だけで、確率の形は $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P)$ に決まる。ただし、この要請の中には「命題 $\hat P$ の確率は、$\hat P$ をどの測定の一部として測っても同じ」という仮定（非文脈性）が入っている。この仮定の意味は次の 第9部第3章 で Kochen–Specker の定理として調べる。

章の組み立ては次のとおりである。9.2.1節で問題を frame function という関数の問題に言い直し、9.2.2節で定理を述べて帰結を3つ引き出す。9.2.3節と 9.2.4節が証明で、前者は「連続な frame function は2次形式である」ことを球面調和関数で完全に証明し、後者は「非負なら連続である」という Gleason の議論の中心と、複素の場合への持ち上げの筋道を述べる。9.2.5節で2次元で定理が破れる理由を見て、確率を射影でなく効果（POVM の要素）に割り当てれば2次元でも同じ結論が出ること（Busch の定理）を証明する。9.2.6節が橋の節で、共通例題②の Rabi 振動の状態を確率の割り当てから組み直す。

状態は1次元の射影の値で決まる

第9部第1章の定義を思い出す。$\mathcal L(\mathcal{H})$ の上の状態とは、関数 $\mu:\mathcal L(\mathcal{H})\to[0,1]$ で、$\mu(0)=0$、$\mu(\hat 1)=1$、互いに直交する射影の列 $\hat P_1,\hat P_2,\dots$ について

$$\mu\Bigl(\sum_k\hat P_k\Bigr)=\sum_k\mu(\hat P_k)\tag{9.2.1}$$

を満たすものである（互いに直交する射影の結びは和 $\sum_k\hat P_k$ になる）。この章では $\mathcal{H}$ は可分とし、列は有限か可算とする。

状態 $\mu$ は、1次元の射影の上の値で決まってしまう。閉部分空間 $M$ の正規直交基底 $\{| x_k \rangle \}$ をとると、$M$ への射影は $\hat P_M=\sum_k| x_k \rangle \langle x_k |$ と互いに直交する1次元の射影の和に分かれ、加法性 (9.2.1) から $\mu(\hat P_M)=\sum_k\mu(| x_k \rangle \langle x_k |)$ となるからである。そこで単位ベクトル $| x \rangle$ に

$$f(x)\coloneqq\mu\bigl(| x \rangle \langle x |\bigr)\tag{9.2.2}$$

を対応させる。$f$ は $| x \rangle$ の全体の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$ によらない（射影 $| x \rangle \langle x |$ が変わらない）。$\hat 1$ を正規直交基底 $\{| e_i \rangle \}$ で分ければ $\sum_i f(e_i)=\mu(\hat 1)=1$ がどの基底でも成り立つ。逆に、この性質を持つ非負の関数 $f$ があれば、$\mu(\hat P_M)\coloneqq\sum_kf(x_k)$ で状態が作れる（基底の取り方によらないことは、$M$ の基底 $\{x_k\}$ を $M^\perp$ の基底で補って $\mathcal{H}$ の基底にし、和が1になることを $M$ の2つの基底について比べればわかる）。この関数の性質に名前を付ける。

frame function は、基底のベクトルの位相を変えた基底にも (9.2.3) が成り立つので、$f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}x)=f(x)$ を自動的に満たす。実ヒルベルト空間 $\mathbb{R}^n$ では、$\{e_1,e_2,\dots\}$ と $\{-e_1,e_2,\dots\}$ がどちらも基底なので、2つの和の差から $f(-e_1)=f(e_1)$ が出る。いずれの場合も、$f$ は単位ベクトルの関数というより、ベクトルの張る直線（射線）の関数である。ここまでの言い直しをまとめると、次のとおりである。

非文脈性：同じ命題は、どの基底に入れても同じ確率

条件 (9.2.3) の中に入っている物理の仮定を取り出しておく。$\mathbb{C}^3$ で、単位ベクトル $| e_3 \rangle$ を含む2つの基底 $\{e_1,e_2,e_3\}$ と $\{u,u',e_3\}$ を考える（図 9.2.1）。1つ目の基底は、ある物理量 $\hat A=\sum_ia_i| e_i \rangle \langle e_i |$ の固有基底で、2つ目は別の物理量 $\hat B$ の固有基底である。$\hat A$ と $\hat B$ は一般に交換せず、同時に測ることはできない。それでも (9.2.2) は、「$\hat A$ を測って $e_3$ の結果を得る確率」と「$\hat B$ を測って $e_3$ の結果を得る確率」を同じ1つの値 $f(e_3)$ にしている。命題 $| e_3 \rangle \langle e_3 |$ の確率が、それと一緒に測るほかの命題（文脈）によらないというこの仮定を非文脈性と呼ぶ。基準の量子力学は $\operatorname{Tr}(\hat\rho| e_3 \rangle \langle e_3 |)$ が基底によらないので非文脈性を満たす。Gleason の定理は、非文脈性と加法性だけで確率の形が決まってしまうことを言う。

図 9.2.1　$e_3$ を共有する2つの基底。$e_3$ の確率 $f(e_3)$ は、どちらの基底の測定で問うても同じ値とする（非文脈性）。$e_3$ に直交する大円（楕円で描いた赤道）の上で $f(u)+f(u')=f(e_1)+f(e_2)=W-f(e_3)$ が成り立つ。3次元以上ではどのベクトルも無数の基底に入り、これらの関係が互いに絡み合う。

図 9.2.1 の状況から、frame function の値の間には「$e_3$ に直交する平面の中の2本の直交するベクトルの値の和は、平面の取り方によらず $W-f(e_3)$」という関係が出る。3次元以上では、1本のベクトル $u$ は無数の基底に属する（$u$ に直交する平面の中で残りのベクトルを回せる）。だから (9.2.3) は、たくさんの基底の間で値を互いに縛り合う連立の条件になる。2次元ではこの絡み合いが無い。$\mathbb{C}^2$ の単位ベクトル $x$ に直交する射線は1本しかなく、基底は互いに交わらない2本組に分かれるからである。この違いが 9.2.5節の主題になる。