量子力学の様々な構成方法 第9部 第2章 §9.2.5 ★★★ 量子ビットでは射影の上の確率が Tr ( ρ ^ P ^ ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P) Tr ( ρ ^ P ^ )
2次元の frame function は何でもよい
H = C 2 \mathcal{H}=\mathbb{C}^2 H = C 2 n \bm{n} n P ^ n = 1 2 ( 1 ^ + n ⋅ σ ) \hat P_{\bm{n}}=\frac12(\hat 1+\bm{n}\cdot\bm{\sigma}) P ^ n = 2 1 ( 1 ^ + n ⋅ σ ) P ^ n \hat P_{\bm{n}} P ^ n P ^ − n \hat P_{-\bm{n}} P ^ − n { P ^ n , P ^ − n } \{\hat P_{\bm{n}},\hat P_{-\bm{n}}\} { P ^ n , P ^ − n }
f ( n ) + f ( − n ) = 1 (9.2.10) f(\bm{n})+f(-\bm{n})=1\tag{9.2.10} f ( n ) + f ( − n ) = 1 ( 9.2.10 )
だけになる。この条件は、球面を「上半分」と「下半分」に分けて、上半分で [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 1 − f 1-f 1 − f Tr ( ρ ^ P ^ n ) = 1 2 ( 1 + r ⋅ n ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_{\bm{n}})=\frac12(1+\bm{r}\cdot\bm{n}) Tr ( ρ ^ P ^ n ) = 2 1 ( 1 + r ⋅ n ) r \bm{r} r n \bm{n} n (9.2.10) を満たす関数の大部分はこの形をしていない。たとえば
f 3 ( n ) = 1 2 + 1 2 n z 3 , f 01 ( n ) = { 1 ( n z > 0 ) 0 ( n z < 0 ) (9.2.11) f_3(\bm{n})=\frac12+\frac12n_z^3,\qquad f_{01}(\bm{n})=\begin{cases}1&(n_z>0)\\0&(n_z<0)\end{cases}\tag{9.2.11} f 3 ( n ) = 2 1 + 2 1 n z 3 , f 01 ( n ) = { 1 0 ( n z > 0 ) ( n z < 0 ) ( 9.2.11 )
はどちらも (9.2.10) を満たし、値は [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] f 01 f_{01} f 01 n \bm{n} n − n -\bm{n} − n 1 1 1 f 3 f_3 f 3 n z n_z n z f 01 f_{01} f 01 9.2.3 に3つの割り当てを極角 θ \theta θ n z = cos θ n_z=\cos\theta n z = cos θ
図 9.2.3 量子ビットの射影 P ^ n \hat P_{\bm{n}} P ^ n n \bm{n} n θ \theta θ ρ ^ = 1 2 ( 1 ^ + σ z ) \hat\rho=\frac12(\hat 1+\sigma_z) ρ ^ = 2 1 ( 1 ^ + σ z ) Tr ( ρ ^ P ^ n ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_{\bm{n}}) Tr ( ρ ^ P ^ n ) f ( θ ) + f ( π − θ ) = 1 f(\theta)+f(\pi-\theta)=1 f ( θ ) + f ( π − θ ) = 1
2次元で定理が破れる理由は、前の節の証明のどこで3次元を使ったかを見ればわかる。(9.2.7) は「n n n n n n n n n
物理の量子ビットでは、射影だけでなく、それより一般の測定もできる。そこで確率を割り当てる対象を広げると、2次元でも絡み合いが戻ってくる。
効果の上の確率
測定の結果の確率を与える演算子として、射影より一般の効果 （0 ≤ E ^ ≤ 1 ^ 0\le\hat E\le\hat 1 0 ≤ E ^ ≤ 1 ^ k k k E ^ k \hat E_k E ^ k ∑ k E ^ k = 1 ^ \sum_k\hat E_k=\hat 1 ∑ k E ^ k = 1 ^ 第4部第5章 ）で Kraus 表示とともに扱う一般の測定に当たる。射影は E ^ 2 = E ^ \hat E^2=\hat E E ^ 2 = E ^
定義 9.2.6（効果の上の確率測度）
有限次元の H \mathcal{H} H E ( H ) \mathcal E(\mathcal{H}) E ( H ) ν : E ( H ) → [ 0 , 1 ] \nu:\mathcal E(\mathcal{H})\to[0,1] ν : E ( H ) → [ 0 , 1 ] ν ( 1 ^ ) = 1 \nu(\hat 1)=1 ν ( 1 ^ ) = 1
E ^ 1 + E ^ 2 + ⋯ + E ^ m ≤ 1 ^ ⟹ ν ( ∑ k E ^ k ) = ∑ k ν ( E ^ k ) (9.2.12) \hat E_1+\hat E_2+\dots+\hat E_m\le\hat 1\ \Longrightarrow\ \nu\Bigl(\sum_k\hat E_k\Bigr)=\sum_k\nu(\hat E_k)\tag{9.2.12} E ^ 1 + E ^ 2 + ⋯ + E ^ m ≤ 1 ^ ⟹ ν ( k ∑ E ^ k ) = k ∑ ν ( E ^ k ) ( 9.2.12 )
を満たすものを、効果の上の確率測度 と呼ぶ。
(9.2.12) は、効果の和を「粗い測定」と読むことによる。2つの結果 E ^ 1 , E ^ 2 \hat E_1,\hat E_2 E ^ 1 , E ^ 2 E ^ 1 + E ^ 2 \hat E_1+\hat E_2 E ^ 1 + E ^ 2 E ^ \hat E E ^ ν ( E ^ ) \nu(\hat E) ν ( E ^ )
定理 9.2.7（Busch の定理（2003）★★★）
有限次元の H \mathcal{H} H dim H = 2 \dim\mathcal{H}=2 dim H = 2 ν \nu ν ρ ^ \hat\rho ρ ^ ν ( E ^ ) = Tr ( ρ ^ E ^ ) \nu(\hat E)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat E) ν ( E ^ ) = Tr ( ρ ^ E ^ )
（P. Busch (2003), Physical Review Letters 91, 120403。証明は短く、次のとおりである。）
証明 (i) 有理数倍 ：効果 E ^ \hat E E ^ n n n E ^ = E ^ / n + ⋯ + E ^ / n \hat E=\hat E/n+\dots+\hat E/n E ^ = E ^ / n + ⋯ + E ^ / n n n n ν ( E ^ ) = n ν ( E ^ / n ) \nu(\hat E)=n\,\nu(\hat E/n) ν ( E ^ ) = n ν ( E ^ / n ) 0 ≤ m ≤ n 0\le m\le n 0 ≤ m ≤ n ν ( m n E ^ ) = m n ν ( E ^ ) \nu(\frac mn\hat E)=\frac mn\nu(\hat E) ν ( n m E ^ ) = n m ν ( E ^ )
(ii) 単調性 ：E ^ ≤ F ^ \hat E\le\hat F E ^ ≤ F ^ F ^ = E ^ + ( F ^ − E ^ ) \hat F=\hat E+(\hat F-\hat E) F ^ = E ^ + ( F ^ − E ^ ) F ^ − E ^ \hat F-\hat E F ^ − E ^ ν ( F ^ ) = ν ( E ^ ) + ν ( F ^ − E ^ ) ≥ ν ( E ^ ) \nu(\hat F)=\nu(\hat E)+\nu(\hat F-\hat E)\ge\nu(\hat E) ν ( F ^ ) = ν ( E ^ ) + ν ( F ^ − E ^ ) ≥ ν ( E ^ )
(iii) 実数倍 ：λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda\in[0,1] λ ∈ [ 0 , 1 ] a ≤ λ ≤ b a\le\lambda\le b a ≤ λ ≤ b a ν ( E ^ ) ≤ ν ( λ E ^ ) ≤ b ν ( E ^ ) a\nu(\hat E)\le\nu(\lambda\hat E)\le b\nu(\hat E) a ν ( E ^ ) ≤ ν ( λ E ^ ) ≤ b ν ( E ^ ) a , b → λ a,b\to\lambda a , b → λ ν ( λ E ^ ) = λ ν ( E ^ ) \nu(\lambda\hat E)=\lambda\nu(\hat E) ν ( λ E ^ ) = λ ν ( E ^ )
(iv) 正の演算子へ ：A ^ ≥ 0 \hat A\ge0 A ^ ≥ 0 c ≥ ∥ A ^ ∥ c\ge\lVert \hat A\rVert c ≥ ∥ A ^ ∥ ν ~ ( A ^ ) ≔ c ν ( A ^ / c ) \tilde\nu(\hat A)\coloneqq c\,\nu(\hat A/c) ν ~ ( A ^ ) : = c ν ( A ^ / c ) c c c ν ~ \tilde\nu ν ~
(v) 自己共役演算子へ ：自己共役な A ^ \hat A A ^ A ^ = B ^ − C ^ \hat A=\hat B-\hat C A ^ = B ^ − C ^ B ^ , C ^ ≥ 0 \hat B,\hat C\ge0 B ^ , C ^ ≥ 0 ν ~ ( A ^ ) ≔ ν ~ ( B ^ ) − ν ~ ( C ^ ) \tilde\nu(\hat A)\coloneqq\tilde\nu(\hat B)-\tilde\nu(\hat C) ν ~ ( A ^ ) : = ν ~ ( B ^ ) − ν ~ ( C ^ ) B ^ ′ − C ^ ′ \hat B'-\hat C' B ^ ′ − C ^ ′ B ^ + C ^ ′ = B ^ ′ + C ^ \hat B+\hat C'=\hat B'+\hat C B ^ + C ^ ′ = B ^ ′ + C ^ ν ~ \tilde\nu ν ~
(vi) Riesz の表現 ：自己共役演算子の空間には実内積 ⟨ A ^ , B ^ ⟩ = Tr ( A ^ B ^ ) \langle \hat A,\,\hat B\rangle =\operatorname{Tr}(\hat A\hat B) ⟨ A ^ , B ^ ⟩ = Tr ( A ^ B ^ ) ρ ^ \hat\rho ρ ^ ν ~ ( A ^ ) = Tr ( ρ ^ A ^ ) \tilde\nu(\hat A)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A) ν ~ ( A ^ ) = Tr ( ρ ^ A ^ ) ρ ^ ≥ 0 \hat\rho\ge0 ρ ^ ≥ 0 ⟨ ψ ∣ ρ ^ ∣ ψ ⟩ = ν ( ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ) ≥ 0 \langle \psi | \hat\rho | \psi \rangle =\nu(| \psi \rangle \langle \psi |)\ge0 ⟨ ψ ∣ ρ ^ ∣ ψ ⟩ = ν ( ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ) ≥ 0 Tr ρ ^ = 1 \operatorname{Tr}\hat\rho=1 Tr ρ ^ = 1 ν ( 1 ^ ) = 1 \nu(\hat 1)=1 ν ( 1 ^ ) = 1
証明の中で、2次元で破れていた「基底の間の絡み合い」を担っているのは (i) と (v) である。効果 1 2 ( P ^ z + + P ^ x + ) \frac12(\hat P_{z+}+\hat P_{x+}) 2 1 ( P ^ z + + P ^ x + ) P ^ z + \hat P_{z+} P ^ z + P ^ x + \hat P_{x+} P ^ x + f 3 f_3 f 3
例題 9.2.5 3乗の割り当ては効果の加法性と両立しない ★★★
オリジナル 量子ビットの効果 E ^ = 1 2 ( P ^ z + + P ^ x + ) \hat E=\frac12(\hat P_{z+}+\hat P_{x+}) E ^ = 2 1 ( P ^ z + + P ^ x + ) P ^ z + = 1 2 ( 1 ^ + σ z ) \hat P_{z+}=\frac12(\hat 1+\sigma_z) P ^ z + = 2 1 ( 1 ^ + σ z ) P ^ x + = 1 2 ( 1 ^ + σ x ) \hat P_{x+}=\frac12(\hat 1+\sigma_x) P ^ x + = 2 1 ( 1 ^ + σ x )
(1) E ^ \hat E E ^ E ^ = λ + P ^ m + λ − P ^ − m \hat E=\lambda_+\hat P_{\bm{m}}+\lambda_-\hat P_{-\bm{m}} E ^ = λ + P ^ m + λ − P ^ − m (2) 射影の上の割り当て f 3 f_3 f 3 (9.2.11) ）を、Busch の定理の証明 (i)(iii) の実数倍の規則と加法性で効果へ広げようとすると、ν ( E ^ ) \nu(\hat E) ν ( E ^ ) (3) 1次の割り当て f ( n ) = 1 2 ( 1 + r ⋅ n ) f(\bm{n})=\frac12(1+\bm{r}\cdot\bm{n}) f ( n ) = 2 1 ( 1 + r ⋅ n )
解答 (1) E ^ = 1 2 ( 1 ^ + 1 2 ( σ z + σ x ) ) = 1 2 1 ^ + 1 2 2 m ⋅ σ \hat E=\frac12\bigl(\hat 1+\frac12(\sigma_z+\sigma_x)\bigr)=\frac12\hat 1+\frac{1}{2\sqrt2}\,\bm{m}\cdot\bm{\sigma} E ^ = 2 1 ( 1 ^ + 2 1 ( σ z + σ x ) ) = 2 1 1 ^ + 2 2 1 m ⋅ σ m = ( 1 , 0 , 1 ) / 2 \bm{m}=(1,0,1)/\sqrt2 m = ( 1 , 0 , 1 ) / 2 m ⋅ σ \bm{m}\cdot\bm{\sigma} m ⋅ σ ± 1 \pm1 ± 1
λ ± = 1 2 ( 1 ± 1 2 ) , E ^ = λ + P ^ m + λ − P ^ − m . \lambda_\pm=\frac12\Bigl(1\pm\frac{1}{\sqrt2}\Bigr),\qquad \hat E=\lambda_+\hat P_{\bm{m}}+\lambda_-\hat P_{-\bm{m}}. λ ± = 2 1 ( 1 ± 2 1 ) , E ^ = λ + P ^ m + λ − P ^ − m .
(2) 1つ目の分け方 E ^ = 1 2 P ^ z + + 1 2 P ^ x + \hat E=\frac12\hat P_{z+}+\frac12\hat P_{x+} E ^ = 2 1 P ^ z + + 2 1 P ^ x + ν ( E ^ ) = 1 2 f 3 ( e z ) + 1 2 f 3 ( e x ) = 1 2 ⋅ 1 + 1 2 ⋅ 1 2 = 3 4 \nu(\hat E)=\frac12f_3(\bm{e}_z)+\frac12f_3(\bm{e}_x)=\frac12\cdot1+\frac12\cdot\frac12=\frac34 ν ( E ^ ) = 2 1 f 3 ( e z ) + 2 1 f 3 ( e x ) = 2 1 ⋅ 1 + 2 1 ⋅ 2 1 = 4 3 f 3 ( ± m ) = 1 2 ± 1 2 ( 1 2 ) 3 = 1 2 ± 1 4 2 f_3(\pm\bm{m})=\frac12\pm\frac12\bigl(\frac{1}{\sqrt2}\bigr)^3=\frac12\pm\frac{1}{4\sqrt2} f 3 ( ± m ) = 2 1 ± 2 1 ( 2 1 ) 3 = 2 1 ± 4 2 1
ν ( E ^ ) = λ + f 3 ( m ) + λ − f 3 ( − m ) = 1 2 ( λ + + λ − ) + 1 4 2 ( λ + − λ − ) = 1 2 + 1 4 2 ⋅ 1 2 = 5 8 . \nu(\hat E)=\lambda_+f_3(\bm{m})+\lambda_-f_3(-\bm{m})=\frac12(\lambda_++\lambda_-)+\frac{1}{4\sqrt2}(\lambda_+-\lambda_-)=\frac12+\frac{1}{4\sqrt2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}=\frac58 . ν ( E ^ ) = λ + f 3 ( m ) + λ − f 3 ( − m ) = 2 1 ( λ + + λ − ) + 4 2 1 ( λ + − λ − ) = 2 1 + 4 2 1 ⋅ 2 1 = 8 5 .
3 4 ≠ 5 8 \frac34\neq\frac58 4 3 = 8 5 f 3 f_3 f 3
(3) 1つ目は 1 2 ⋅ 1 2 ( 1 + r z ) + 1 2 ⋅ 1 2 ( 1 + r x ) = 1 2 + 1 4 ( r x + r z ) \frac12\cdot\frac12(1+r_z)+\frac12\cdot\frac12(1+r_x)=\frac12+\frac14(r_x+r_z) 2 1 ⋅ 2 1 ( 1 + r z ) + 2 1 ⋅ 2 1 ( 1 + r x ) = 2 1 + 4 1 ( r x + r z ) 1 2 + 1 2 ( λ + − λ − ) r ⋅ m = 1 2 + 1 2 2 ⋅ r x + r z 2 = 1 2 + 1 4 ( r x + r z ) \frac12+\frac12(\lambda_+-\lambda_-)\,\bm{r}\cdot\bm{m}=\frac12+\frac{1}{2\sqrt2}\cdot\frac{r_x+r_z}{\sqrt2}=\frac12+\frac14(r_x+r_z) 2 1 + 2 1 ( λ + − λ − ) r ⋅ m = 2 1 + 2 2 1 ⋅ 2 r x + r z = 2 1 + 4 1 ( r x + r z ) f f f n \bm{n} n n \bm{n} n
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
